Matematyka.pl

Przeszukałam forum i nie znalazłam nigdzie tego typu zadań. Były podobne, ale z podanym jeszcze środkiem okręgu bądź punktami styczności, co niestety niewiele mi pomogło. Proszę o pomoc, jeśli nie o rozwiązanie to chociaż o naprowadzenie do rozwiązania poniższych zadań:

1. Wyznacz równania okręgów, których środek znajduje się na prostej \(\displaystyle{ 4x - 5y = 3}\) i które są styczne do prostych: \(\displaystyle{ 2x = 3y + 10}\) i \(\displaystyle{ 2y = 3x +5}\).

2. Wyznacz równania okręgów o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), które są styczne do prostej \(\displaystyle{ x – 2y = 1}\) w punkcie \(\displaystyle{ T = (3, ?)}\).

W pierwszym masz współrzędne środka okręgu: \(\displaystyle{ S= \left( x,y \right) = \left( x, \frac{4x-3}{5} \right)}\). Masz dane dwie proste styczne do okręgu, a więc ich odległość od punktu S musi być r (promień okręgu).
Ze wzoru na odległość punktu od prostej:

\(\displaystyle{ r=\frac{Ax+By+C}{ \sqrt{A^{2}+B^{2}} }}\)

Mamy proste: \(\displaystyle{ 2x-3y-10=0}\) oraz \(\displaystyle{ 3x-2y+5=0}\), zatem:

\(\displaystyle{ r=\frac{2x-3y-10}{ \sqrt{2^{2}+ \left( -3 \right) ^{2}} }=\frac{3x-2y+5}{ \sqrt{3^{2}+ \left( -2 \right) ^{2}} }}\)

Podstawiasz \(\displaystyle{ y=\frac{4x-3}{5}}\), masz równanie z niewiadomą x, które rozwiązujesz.