Dobranie parametrów, wzajemne położenie prostych

[humaaaaaanistkaaaaaa]

Dobierz parametry \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) , aby proste :
\(\displaystyle{ 2x+y+2b=0}\) i \(\displaystyle{ ax-4y-6=0}\) były :
a)równoległe
b)pokrywające
c)prostopadłe

proszę Was, wytężcie swe matematyczne umysły i rozwiążcie to zadanie z góry dziękuję !

[wawek91]

A moze coś od siebie najpierw?
a) proste są równoległe wtedy gdy ich współczynniki kierunkowe (a) są takie same (b nie ma znaczenia)
b) proste się pokrywają jeśli mają identyczne równania
c) proste sa prostopadłe kiedy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek \(\displaystyle{ a_{1}\cdot a_{2} = -1}\)

[humaaaaaanistkaaaaaa]

co od siebie ? ;

[wawek91]

Najpierw sama rusz głową. Względnie możesz czekać na takiego który się pojawi i da Ci zadanie na tacy.

[humaaaaaanistkaaaaaa]

myślałam że forum jest po to aby pomagać,a nie na wstępie wyskakiwać z hasłem 'sama rusz głową'

[Qń]

myślałam że forum jest po to aby pomagać

Owszem, ale mylisz pomaganie z "wytężcie swe matematyczne umysły i rozwiążcie to zadanie".

Q.

[agulka1987]

postać ogólna funkcji liniowej \(\displaystyle{ y=ax+b}\)

funkcje są równoległe gdy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}}\)
pokrywają się gdy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2} \ i \ b_{1}=b_{2}}\)
fubkcje są prostopadłe gdy \(\displaystyle{ a_{1} \cdot a_{2} = -1}\)

[Ein]

postać ogólna funkcji liniowej \(\displaystyle{ y=ax+b}\)

Nie każda prosta jest wykresem funkcji liniowej. Np. prosta o równaniu \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest. Ogólne równanie prostej w standardowej strukturze liniowej na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) to: \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), gdzie \(\displaystyle{ A,B,C\in\mathbb{R}}\)

Niech będą dane dwie proste o równaniach \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) i \(\displaystyle{ Dx+Ey+F=0}\). Wtedy:

a) proste się pokrywają, gdy istnieje stała rzeczywista \(\displaystyle{ k\neq0}\), że \(\displaystyle{ (A,B,C)=k(D,E,F)}\), czyli \(\displaystyle{ A=kD,B=kE,C=kF}\), np. proste \(\displaystyle{ x+y+2=0}\) i \(\displaystyle{ 2x+2y+4=0}\) się pokrywają;

b) proste są prostopadłe, gdy \(\displaystyle{ (D,E)=(-B,A)}\) (czyli \(\displaystyle{ D=-B,E=A}\)) lub \(\displaystyle{ (D,E)=(B,-A)}\) (czyli \(\displaystyle{ D=B,E=-A}\)), np. proste \(\displaystyle{ x+2y+10=0}\) i \(\displaystyle{ -2x+y+7=0}\) są prostopadłe;

c) proste są równoległe, gdy \(\displaystyle{ (A,B)=(D,E)}\), czyli \(\displaystyle{ A=D,B=E}\), np. proste \(\displaystyle{ 3x-2y+1=0}\) i \(\displaystyle{ 3x-2y-8=0}\) są równoległe.

Zwróć uwagę, że w punkcie b i c nie interesuje nas, co się dzieje z parametrami \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ F}\).


(Wszystko, co napisałem, wyprowadza się bardzo łatwo ze standardowego iloczynu skalarnego na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Oczywiście, gdy nałożymy inny iloczyn skalarny, to proste będą miały zupełnie inne równania -- i też prosta w przestrzeni z jednym iloczynem skalarnym nie musi być prostą w tej samej przestrzeni ale z innym iloczynem skalarnym.)