Równanie okręgu przechodzącego przez punkty...

[silversurfer]

Witam mam takie zadanko, wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty:
\(\displaystyle{ A=(2 ; -1) \ B=(-6 ; 5) \ C=(-6 ; -1)}\)

Wyszło mi, że środek okręgu to \(\displaystyle{ S=(-2 ; 2)}\)
Rozrysowałem sobie na kartce, wyszedł trójkąt prostokątny z tych współrzędnych. Reasumując:
- mam środek
- nie wiem jak obliczyć promień

Mam takie równanie
\(\displaystyle{ (x+2) ^{2} \ + \ (y-2) ^{2} \ = r ^{2}}\)

Mógłby mnie ktoś nakierować jak obliczyć \(\displaystyle{ r}\)?
Ten punkt \(\displaystyle{ S=(-2 ; 2)}\) to środek przeciwprostokątnej... tak mi wyszło z rysunku i jest to zarazem środek okręgu, tak?

Poprosiłbym o skorygowanie błędów i jakieś nakierowanie jak wyznaczyć to równanie.

Nie chce abyście robili coś za mnie! Potrzebuje waszych wskazówek

Z góry dziękuję.

[lukasz1804]

Wyznaczając środek okręgu z pewnością wykorzystałeś własność, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym znajduje się na przeciwprostokątnej i dzieli ją na połowy (musi być to przecież punkt równoodległy od każdego z wierzchołków trójkąta).
Zatem promień okręgu ma długość równą połowie przeciwprostokątnej trójkąta.

[silversurfer]

Dzięki!

Czyli to będzie tak:
\(\displaystyle{ |AB| = \sqrt{(-6-2) ^{2} + \ (5+1)^{2} }}\)
czyli
\(\displaystyle{ |AB| = 10}\)
i \(\displaystyle{ r=5}\) ?

[lukasz1804]

Zgadza się.

[silversurfer]

Dzięki !
Skoro mam dać równanie okręgu to wystarczy
\(\displaystyle{ (x+2) ^{2} \ + \ (y-2)^{2} \ = 25}\)
?

[Crizz]

Wystarczy.

Ja jednak przyczepiłbym się do wyznaczania kąta prostego na oko. Wypadałoby pokazać, że rzeczywiście ten trójkąt jest prostokątny (np. obliczyć długości pozostałych boków i zastosować twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa). Wtedy rozwiązanie będzie kompletne.

[silversurfer]

Ok, rozumiem. Zrobię to

[lukasz1804]

Crizz, równie dobrze można sporządzić rysunek w układzie współrzędnych - wtedy też nie ma się wątpliwości, że trójkąt jest prostokątny. Pewnie tym się, silversurfer, kierowałeś?

[Crizz]

Patrząc na rysunek, można najwyżej znaleźć prostszy sposób uzasadnienia, ze trójkąt jest prostokątny (dwie proste zawierające boki trójkąta są równoległe do osi układu - wypadałoby je wskazać), natomiast sam rysunek nie jest jeszcze dowodem. Pisze na wszelki wypadek, bo wielu nauczycieli by się przyczepiło do stwierdzenia "z rysunku wynika...".

[silversurfer]

Tak, właśnie tak zrobiłem, ale obliczenie boków i zrobienie odwrotnego pitagorasa może się przydać na przyszłość : )

Na rysunku jasno widać kąt prosty ;]