Witam!
Mam do udowodnienia, że iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze wzgl. na ukł odniesienia.
Próbowałem:
\(\displaystyle{ a _{x} '=a _{x} + x
b _{x} '=b _{x} + x
a _{y} '=a _{y} + y
b _{y} '=b _{y} + y}\)
I podstawić to do wzory na iloczyn sklarny, ale nie potrafię zinterpretować wyniku.
Proszę o pomoc
Niezmienniczość ze względu na ukł.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Niezmienniczość ze względu na ukł.
Hmmm...
Rozumiem, że masz wektory \(\displaystyle{ [a_{x},a_{y}],[b_{x},b_{y}]}\). W takim razie powinno być:
\(\displaystyle{ a _{x} '=a _{x} \\ b _{x} '=b _{x} \\ a _{y} '=a _{y} \\ b _{y} '=b _{y}}\)
bo przecież współrzędne wektorów nie zmieniają się przy transformacji układu. Powinieneś pokazać to, a nie niezmienniczość iloczynu skalarnego, bo po pokazaniu, że współrzędne wektora się nie zmieniają, wniosek dotyczący iloczynu skalarnego będzie oczywisty.
Rozumiem, że masz wektory \(\displaystyle{ [a_{x},a_{y}],[b_{x},b_{y}]}\). W takim razie powinno być:
\(\displaystyle{ a _{x} '=a _{x} \\ b _{x} '=b _{x} \\ a _{y} '=a _{y} \\ b _{y} '=b _{y}}\)
bo przecież współrzędne wektorów nie zmieniają się przy transformacji układu. Powinieneś pokazać to, a nie niezmienniczość iloczynu skalarnego, bo po pokazaniu, że współrzędne wektora się nie zmieniają, wniosek dotyczący iloczynu skalarnego będzie oczywisty.
-
Michocio
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 10 sie 2008, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 5 razy
Niezmienniczość ze względu na ukł.
Przepraszam, ale niezbyt rozumiem jak współrzędne pozostają niezmienione skoro, przesuwamy ukł odniesienia, a punkty pozostają w tym samym miejscu?
Byłbym wdzieczny za wytłumaczenie
Byłbym wdzieczny za wytłumaczenie
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Niezmienniczość ze względu na ukł.
Punkt nie jest wektorem.
Wektor to uporządkowana para punktów. Jeden z tych punktów nazywamy początkiem, a drugi końcem wektora. Będziemy teraz rozważać tylko wektory w przestrzeni dwuwymiarowej. Jeśli \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) jest początkiem, a \(\displaystyle{ (x_{2},y_{2})}\) końcem wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\), to liczby \(\displaystyle{ a_{x}=x_{2}-x_{1},a_{y}=y_{2}-y_{1}}\) nazywamy odpowiednio pierwszą i druga współrzędną wektora; taki wektor zapisujemy zwykle jako \(\displaystyle{ \vec{a}=[a_{x},a_{y}]}\).
Jeśli teraz zapiszesz "nowe" współrzędne punktów \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) oraz \(\displaystyle{ (x_{2},y_{2})}\) i obliczysz na ich podstawie współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\), to zobaczysz, że istotnie współrzędne wektora się nie zmienią - choć zmienią się współrzędne początku i końca wektora.
Być może masz zwyczaj opisywania wszystkiego za pomocą wektorów, ale nie możesz utożsamiać punktu z wektorem - możesz najwyżej użyć wektora do opisania położenia punktu - wówczas twój wektor kończy się w danym punkcie, a zaczyna w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Wtedy jednak iloczyn skalarny wektorów opisujących dwa te same punkty, ale w różnych układach, wcale nie będzie taki sam.
Wystarczy przecież wyobrazić sobie sytuację, kiedy wektory opisujące położenia dwóch punktów \(\displaystyle{ A,B}\), wraz z odcinkiem łączącym te punkty tworzą trójkąt prostokątny równoramienny (a kat prosty znajduje się między wektorami) - wówczas ich iloczyn skalarny wynosi zero. Teraz dokonujemy transformacji układu współrzędnych w taki sposób, ze przesuwamy początek układu współrzędnych wzdłuż wysokości tego trójkąta tak, by znalazł się bliżej odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Wówczas kąt między wektorami opisującymi położenie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będzie już większy od \(\displaystyle{ 90^{o}}\) - iloczyn skalarny tych wektorów nie będzie już zerowy.
Wektor to uporządkowana para punktów. Jeden z tych punktów nazywamy początkiem, a drugi końcem wektora. Będziemy teraz rozważać tylko wektory w przestrzeni dwuwymiarowej. Jeśli \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) jest początkiem, a \(\displaystyle{ (x_{2},y_{2})}\) końcem wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\), to liczby \(\displaystyle{ a_{x}=x_{2}-x_{1},a_{y}=y_{2}-y_{1}}\) nazywamy odpowiednio pierwszą i druga współrzędną wektora; taki wektor zapisujemy zwykle jako \(\displaystyle{ \vec{a}=[a_{x},a_{y}]}\).
Jeśli teraz zapiszesz "nowe" współrzędne punktów \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) oraz \(\displaystyle{ (x_{2},y_{2})}\) i obliczysz na ich podstawie współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\), to zobaczysz, że istotnie współrzędne wektora się nie zmienią - choć zmienią się współrzędne początku i końca wektora.
Być może masz zwyczaj opisywania wszystkiego za pomocą wektorów, ale nie możesz utożsamiać punktu z wektorem - możesz najwyżej użyć wektora do opisania położenia punktu - wówczas twój wektor kończy się w danym punkcie, a zaczyna w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Wtedy jednak iloczyn skalarny wektorów opisujących dwa te same punkty, ale w różnych układach, wcale nie będzie taki sam.
Wystarczy przecież wyobrazić sobie sytuację, kiedy wektory opisujące położenia dwóch punktów \(\displaystyle{ A,B}\), wraz z odcinkiem łączącym te punkty tworzą trójkąt prostokątny równoramienny (a kat prosty znajduje się między wektorami) - wówczas ich iloczyn skalarny wynosi zero. Teraz dokonujemy transformacji układu współrzędnych w taki sposób, ze przesuwamy początek układu współrzędnych wzdłuż wysokości tego trójkąta tak, by znalazł się bliżej odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Wówczas kąt między wektorami opisującymi położenie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będzie już większy od \(\displaystyle{ 90^{o}}\) - iloczyn skalarny tych wektorów nie będzie już zerowy.