wyznaczyć odległość między prostymi:
\(\displaystyle{ x=y=z}\)
\(\displaystyle{ x+5=y-1=z+7}\)
Odległość między prostymi
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Odległość między prostymi
Na początek wypada sprawdzić, czy obie proste są wzajemnie równoległe. Jeśli tak jest to można badać odległość między nimi.
Obierzmy dowolny punkt na jednej z prostych (lepiej może na tej drugiej, by się prościej liczyło - pierwsza ma bardzo proste równanie), np. \(\displaystyle{ P=(2,8,0)}\).
Niech \(\displaystyle{ Q_t=(t,t,t)}\) będzie dowolnym punktem na pierwszej z prostych, \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).
Odległość między prostymi to długość najkrótszego odcinka spośród odcinków \(\displaystyle{ PQ_t}\).
Mamy \(\displaystyle{ |PQ_t|^2=(t-2)^2+(t-8)^2+t^2=3t^2-20t+68}\), więc \(\displaystyle{ |PQ_t|^2}\) jest najmniejsze dla \(\displaystyle{ t_0=\frac{-(-20)}{2\cdot 3}=\frac{10}{3}}\) i wynosi \(\displaystyle{ 3\cdot(\frac{10}{3})^2-20\cdot\frac{10}{3}+68=\frac{104}{3}}\).
Wystarczy jeszcze zauważyć, że \(\displaystyle{ |PQ_t|^2}\) jest najmniejsze dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ PQ_t|}\) jest najmniejsze. Przy tym najkrótszy z odcinków \(\displaystyle{ PQ_t}\) to \(\displaystyle{ PQ_{\frac{10}{3}}}\) i ma on długość \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{104}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{78}}\).
Obierzmy dowolny punkt na jednej z prostych (lepiej może na tej drugiej, by się prościej liczyło - pierwsza ma bardzo proste równanie), np. \(\displaystyle{ P=(2,8,0)}\).
Niech \(\displaystyle{ Q_t=(t,t,t)}\) będzie dowolnym punktem na pierwszej z prostych, \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).
Odległość między prostymi to długość najkrótszego odcinka spośród odcinków \(\displaystyle{ PQ_t}\).
Mamy \(\displaystyle{ |PQ_t|^2=(t-2)^2+(t-8)^2+t^2=3t^2-20t+68}\), więc \(\displaystyle{ |PQ_t|^2}\) jest najmniejsze dla \(\displaystyle{ t_0=\frac{-(-20)}{2\cdot 3}=\frac{10}{3}}\) i wynosi \(\displaystyle{ 3\cdot(\frac{10}{3})^2-20\cdot\frac{10}{3}+68=\frac{104}{3}}\).
Wystarczy jeszcze zauważyć, że \(\displaystyle{ |PQ_t|^2}\) jest najmniejsze dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ PQ_t|}\) jest najmniejsze. Przy tym najkrótszy z odcinków \(\displaystyle{ PQ_t}\) to \(\displaystyle{ PQ_{\frac{10}{3}}}\) i ma on długość \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{104}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{78}}\).