Płaszczyzna zawierające proste

[Switek]

Napisz równanie płaszczyzny zawierające proste
a) \(\displaystyle{ x=3t-2, y=2t-3, z=t , 2x-3=3y=6z-5}\)
b) \(\displaystyle{ 3x-6=y=2x, 3x=y=2x}\)

Gdyby ktoś krok po kroku wyjaśnił jak to rozwiązać byłbym wdzięczny ....

[Crizz]

Pierwszą prostą w podpunkcie a) masz podaną w postaci parametrycznej. Równania pozostałych przekształć do postaci kierunkowej \(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}}\) (albo parametrycznej, wszystko jedno). Zacznij od tego, potem przejdziemy dalej.

[irena_1]

Równania parametryczne prostych:

\(\displaystyle{ k:\ \begin{cases} x=-2+3t\\y=-3+2t\\z=t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2x-3=3y=6z-5\ /:6\\\frac{x-\frac{3}{2}}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-\frac{5}{6}}{1}\\l:\ \begin{cases} x=\frac{3}{2}+3s\\y=2s\\z=\frac{5}{6}+s \end{cases}}\)

Wektory kierunkowe obu prostych są równe. To wektor \(\displaystyle{ [3, 2, 1]}\).

Można wziąć 3 punkty- dwa należące do jednej prostej i jeden do drugiej i tak znaleźć równanie płaszczyzny.

Do pierwszej prostej należą punkty: (\(\displaystyle{ t=0, t=1}\)):
\(\displaystyle{ (-2, -3, 0)}\) i \(\displaystyle{ (1, -1, 1)}\).
Do drugiej prostej należ punkt (dla \(\displaystyle{ s=\frac{1}{6}}\))
\(\displaystyle{ \left(2,\ \frac{1}{3},\ 1\right)}\).

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 różne niewspółliniowe punkty \(\displaystyle{ (x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ (x_3,\ y_3)}\):

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x-x_3&y-y_3&z-z_3\\x_1-x_3&y_1-y_3&z_1-z_3\\x_2-x_3&y_2-y_3&z_2-z_3\end{array}\right|=0}\)

W tym wypadku:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x-2&y-\frac{1}{3}&z-1\\-4&-\frac{10}{3}&-1\\-1&-\frac{4}{3}&0\end{array}\right|=0\\y-\frac{1}{3}+\frac{16}{3}(z-1)-\frac{10}{3}(z-1)-\frac{4}{3}(x-2)=0\ /\cdot3\\3y-1+16(z-1)-10(z-1)-4(x-2)=0\\-4x+3y+6z+1=0\ /\cdot(-1)\\4x-3y-6z-1=0}\)-- 20 wrz 2010, o 13:40 --b)
Czy tam nie powinno być: 3x-6=y=2z i 3x=y=2z ?

[Switek]

@irena_1
Tak ..... wyszedł jakiś mały błąd w pisaniu ale na podstawie twojego rozwiązania bez problemu się robi wszystkie tego typu przykłady