Płaszczyzna i punkt
Płaszczyzna i punkt
Na płaszczyźnie dany jest zbiór \(\displaystyle{ A = \{(x,y): x \in R \wedge y \in R \wedge x^{2} - y^{2} \ge 0\}}\). Znajdź punkt P należący do zbioru A, który leży najbliżej punktu \(\displaystyle{ K(1,2)}\).
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2010, o 23:59 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
pajong8888
- Użytkownik
- Posty: 231
- Rejestracja: 29 lip 2010, o 00:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 38 razy
Płaszczyzna i punkt
Punkt K nie należy do tego obszaru, więc najbliższy punkt będzie leżał na krzywej \(\displaystyle{ x^2-y^2=0}\). Trzeba znaleźć ekstremum warunkowe funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2}\) przy warunku \(\displaystyle{ g(x,y)=x^2-y^2=0}\).
Utwórzmy funkcję Lagrange'a \(\displaystyle{ \mathcal{L} (x,y,\lambda)=(x-1)^2+(y-2)^2+\lambda (x^2-y^2)}\)
Jeżeli funkcja ma ekstremum warunkowe w punkcie stacjonarnym \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) to wtedy istnieje takie \(\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{R}}\), że funkcja Lagrange'a dla \(\displaystyle{ (x_0,y_0,\lambda)}\) osiąga ekstremum, czyli spełnia warunek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}(x_0,y_0,\lambda)=0\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}(x_0,y_0,\lambda)=0\\g(x_0,y_0)=0\end{cases}}\)
Później możesz sprawdzić, czy w danym punkcie ma maksimum lub minimum za pomocą drugiej różniczki funkcji Lagrange'a. Mi wyszło, że ma minimum w punkcie \(\displaystyle{ (\frac{3}{2},\frac{3}{2})}\)
Utwórzmy funkcję Lagrange'a \(\displaystyle{ \mathcal{L} (x,y,\lambda)=(x-1)^2+(y-2)^2+\lambda (x^2-y^2)}\)
Jeżeli funkcja ma ekstremum warunkowe w punkcie stacjonarnym \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) to wtedy istnieje takie \(\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{R}}\), że funkcja Lagrange'a dla \(\displaystyle{ (x_0,y_0,\lambda)}\) osiąga ekstremum, czyli spełnia warunek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}(x_0,y_0,\lambda)=0\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}(x_0,y_0,\lambda)=0\\g(x_0,y_0)=0\end{cases}}\)
Później możesz sprawdzić, czy w danym punkcie ma maksimum lub minimum za pomocą drugiej różniczki funkcji Lagrange'a. Mi wyszło, że ma minimum w punkcie \(\displaystyle{ (\frac{3}{2},\frac{3}{2})}\)