Mnożenie skalarne wektorów.

[omnia]

Witam.

Mam mały problem z wektorami, a dokładniej ich mnożeniem.

Zadanie:
Rozważ dwa wektory: \(\displaystyle{ A=[1,2]}\) i \(\displaystyle{ B=[4,-2]}\)
Pomnóż skalarnie wektory jeśli kąt między nimi wynosi \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\).

Czy mnożenie skalarne jak i wektorowe robimy tak samo?

[lukasz1804]

Czegoś tu nie rozumiem. Z określenia wektorów A i B wynika, że ich iloczyn skalarny wynosi \(\displaystyle{ 1\cdot 4+2\cdot(-2)=0}\). Zatem wektory te są prostopadłe - kąt między nimi to kąt prosty, a nie kąt \(\displaystyle{ 45^o}\).

[omnia]

A nie powinno być tak, że do tych wektorów dajemy jeszcze wartość cosinusa dla \(\displaystyle{ 45^o}\)? I dopiero wszystko mnożymy, a nie tak jak to zrobiłeś w powyższym przykładzie?

[Konikov]

Do przemnożonych długości wektorów dajemy także cosinus. Co dokładnie znaczy Twoje [1, 2]? Jeśli to, co się domyślam, to po użyciu tw. Pitagorasa wszystko ładnie idzie:

\(\displaystyle{ \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} \cdot sin\left( \frac{\pi}{4}\right) = 10 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 5 \sqrt{2}}\)

[lukasz1804]

Konikov, spójrz jednak na inną definicję iloczynu skalarnego wektorów (w układzie współrzędnych). Wg niej należy do iloczynu pierwszych współrzędnych wektorów dodać iloczyn drugich współrzędnych.

Swoją drogą, opierając się na podstawowej definicji iloczynu skalarnego, dostajemy tyle, co napisałeś.

Ale te dwa rozumowania prowadzą do różnych wyników. Stąd moja uwaga.

[omnia]

Teraz to już naprawdę nic nie rozumiem. Może zacznę wszystko jeszcze raz.

Otóż na lekcji fizyki, gdzie zajmowaliśmy się mnożeniem wektorów, dostaliśmy 2 wzory. Na iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy. A dokładniej

- iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ \vec{A} \cdot \vec{B} = \left|\vec{A}\right| \cdot \left|\vec{B}\right| \cdot cosinus \alpha}\)

- iloczyn wektorowy:
\(\displaystyle{ \vec{A} \times \vec{B} = \left|\vec{A}\right| \times \left|\vec{B}\right| \cdot sinus \alpha}\)

Problem polega na tym, że nie mam zielonego pojęcia, jak takie wektory mnożyć, pomimo podanych wzorów. Nie wiem, jak pomnożyć wektory, dla których znam wartości liczbowe, ani nie wiem, co zrobić z kątami SINUS I COSINUS. Czytałam w Internecie, że przy mnożeniu skalarnym mnożymy wartości x z x-owymi, a wartości y z y-owymi. Ale tu nasuwa się pytanie, co zrobić z kątami sinus / cosinus? Niestety na lekcji nie zostało to wyjaśnione, a już w ten poniedziałek szykuje się kartkówka z mnożenia.

Proszę o pomoc.-- 18 wrz 2010, o 17:43 --pomoże mi ktoś? ...

[Konikov]

Niestety pozostaje jedynie zalać Cię lekturą ;]

Czytaj:

• https://matematyka.pl/post763324.htm
• http://www.matematyka.pl/40975.htm
• http://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny
• http://www.math.edu.pl/iloczyn-wektorowy

W szczególności pierwszy link pomoże Ci w urzeczywistnieniu obliczeń ;]

[Kamil_B]

To ja może dodam parę słów od siebie.
Po pierwsze, tak jak już zauważył lukasz1804 coś jest nie tak z treścią tego zadania.
Nietrudno bowiem narysować sobie te wektory by przekonać się, że są one prostopadłe ( obliczenia z pierwszego posta tylko to potwierdzają).
Po drugie, drugi z podanych przez Ciebie wzorów ( na iloczyn wektorowy) nie jest prawidłowy.
Otrzymujemy bowiem liczbę a nie wektor- zresztą sama nazwa iloczyn wektorowy nie jet przypadkowa . Powinno tam być:

\(\displaystyle{ \left| \vec{A} \times \vec{B}\right| = \left|\vec{A}\right| \times \left|\vec{B}\right| \cdot sinus \alpha}\)

Wzór na iloczyn skalarny jest ok. CZęsto wykorzystuje się też wpomniany przez Ciebie,a wykorzystany np. przez lukasza1804, wzór :

\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b}=x_1 x_2 +y_1 y_2}\)

dla \(\displaystyle{ \vec{a}=(x_1,y_1), \ \vec{b}=(x_2,y_2)}\)


Ps. Dzięki za reklamę

[00qazwsx00]

nie rozumiem ?

[mat_61]

Zadanie:
Rozważ dwa wektory: \(\displaystyle{ A=[1,2]}\) i \(\displaystyle{ B=[4,-2]}\)
Pomnóż skalarnie wektory jeśli kąt między nimi wynosi \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\)

Treść tego zadania jest bez sensu. Te dwa wektory są prostopadłe (nawet jak nie chcemy sprawdzać analitycznie, to wystarczy je narysować) czyli nie można robić obliczeń dla założenia, że kąt między nimi wynosi \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\)

ILOCZYN SKALARNY

Iloczyn skalarny jest działaniem na wektorach którego wynikiem jest liczba (czyli wartość skalarna) Dla płaszczyzny i wektorów o współrzędnych:

\(\displaystyle{ \vec{a}=[a_{x};a_{y}]}\)

\(\displaystyle{ \vec{b}=[b_{x};b_{y}]}\)

ich iloczyn skalarny jest równy:

\(\displaystyle{ (*) \ \vec{a} \cdot \vec{b}=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}\)

Dla podanego przykładu otrzymamy:

\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b}=1 \cdot 4+2 \cdot (-2)=0}\)

Iloczyn skalarny ma także swoją interpretację geometryczną. Jest to iloczyn długości jednego wektora przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek pierwszego wektora. Można to zapisać jako:

\(\displaystyle{ (**) \ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot| \vec{b}| \cdot cos(\vec{a};\vec{b})}\)

Dla podanego przykładu otrzymamy:

\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b}= \sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 0=0}\)

Jak widać wzory (*) oraz (**) są równorzędne i dają oczywiście takie same wyniki.

Jeżeli mamy podane współrzędne obydwu wektorów (a tym samym jednoznacznie określony, choć nie podany wprost kąt między nimi) to do obliczania iloczynu skalarnego stosujemy wzór (*). Gdybyśmy chcieli skorzystać ze wzoru (**) to wówczas najpierw musielibyśmy obliczyć kąt między wektorami.

Natomiast jeżeli mamy podane długości wektorów oraz kąt między tymi wektorami to stosujemy wzór (**)

Czy mnożenie skalarne jak i wektorowe robimy tak samo?

ILOCZYN WEKTOROWY

Nie bo iloczyn skalarny i wektorowy to dwa zupełnie inne działania. Wynikiem pierwszego z nich jest liczba (skalar) a wynikiem drugiego jest wektor (jest to wektor prostopadły do mnożonych wektorów jeżeli nie są one równoległe). Długość tego wynikowego wektora jest równa:

\(\displaystyle{ (*) |\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}| \cdot| \vec{b}| \cdot sin(\vec{a};\vec{b})}\)

a interpretacją geometryczną jest pole równoległoboku rozpiętego na tych wektorach.

Dla podanego przykładu mamy:

\(\displaystyle{ |\vec{a} \times \vec{b}|= \sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 1=10}\)

Jeżeli podane są współrzędne wektorów, to analogiczne obliczenia możemy wykonać korzystając z wartości bezwzględnej wyznacznika tych wektorów, czyli ze wzoru:

\(\displaystyle{ (**) |\vec{a} \times \vec{b}|= |a_{x} \cdot b_{y} - a_{y} \cdot b_{x}|}\)

Dla podanego przykładu mamy:

\(\displaystyle{ |\vec{a} \times \vec{b}|= |1 \cdot (-2) - 2 \cdot 4|=|-10|=10}\)

Jak widać także tutaj mamy dwa równorzędne wzory. To który z nich zastosujemy zależy od tego jakie mamy dane lub co chcemy obliczyć (analogicznie jak w iloczynie skalarnym).

[00qazwsx00]

y.

[omnia]

Dziękuję za wytłumaczenie.
Już rozumiem!