Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Sano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 paź 2007, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy

Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Post autor: Sano »

Witam.

Chciałbym wyznaczyć równania biegunowe i parametryczne następujących krzywych:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=4y}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=2x}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.
szw1710

Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Post autor: szw1710 »

Obecność wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) wskazuje na zasadność użycia współrzędnych biegunowych.

Wstawiamy \(\displaystyle{ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta}\) otrzymując... wstaw sam. Będziemy mieli zależność \(\displaystyle{ r}\) od \(\displaystyle{ \theta}\). Jeśli chodzi o równania parametryczne, trzeba inaczej.

Przekształć powiedzmy pierwsze równanie pisząc wszystko po lewej i sprowadzając trójmian z \(\displaystyle{ y}\) do postaci kanonicznej. Przenieś stałe na prawo i co wychodzi? Policz, a dostaniesz dalsze wskazówki.
Sano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 paź 2007, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy

Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Post autor: Sano »

Dziękuję.

Ale chciałbym się dowiedzieć jednej rzeczy:
Czy zamiast tych wszystkich przekształceń możemy by wyznaczyć postać parametryczną nie wystarczy
podstawić:
\(\displaystyle{ x=t}\)
a więc dajmy na to (drugi przykład):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y= \sqrt{it^2 +2t} \end{cases}}\)
A w pierwszym gdzie po lewej stronie mamy \(\displaystyle{ 4y}\), podstawić pod \(\displaystyle{ y=t}\)

Albo też inaczej podstawic:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = acos(t) \\ y = asin(t) \end{cases}}\)

(?)

[edit]

Postać biegunowa równania drugiego:
Po podstawieniach:
\(\displaystyle{ r=2cos\theta}\)
czyli jest to równanie biegunowe?
A tak z ciekawości, czy przedstawienie Go w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 2cos^2\theta \\ y = 2cos\thetasin\theta\end{cases}}\)
Również można nazywać równaniem biegunowym?
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2010, o 18:30 przez Sano, łącznie zmieniany 1 raz.
szw1710

Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Post autor: szw1710 »

Nie za bardzo. W pierwszym wchodzimy w liczby zespolone, drugie absolutnie nie. Powiem, że obie krzywe są niezmiernie proste. Spróbuj policzyć tak jak poprzednio sugerowałem.
Sano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 paź 2007, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy

Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Post autor: Sano »

Nie dam sobie głowy uciąć czy dokładnie o to Ci chodziło, ale upraszając to(albo i nie)
doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ x^2+(y-2)^2 = 4}\)
szw1710

Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Post autor: szw1710 »

Dokładnie o taki okrąg chodziło. To teraz sparametryzuj okrąg o tym środku i promieniu tak, jakby początek układu był w środku okręgu. Chodzi o to, aby okrąg o tym promieniu, czyli 2, i środku w (0,0) przesunąć do właściwego środka. Sparametryzuj okrąg "wycentrowany", a następnie wykonaj translację tej parametryzacji.
Sano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 paź 2007, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy

Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Post autor: Sano »

Nie bardzo zrozumiałem.

Obecnie nasz okrąg ma środek w P(0,2) o ile dobrze widzę i o promieniu równym 2.
Aby go wycentrować, trzeba go 'przesunąć' o wektor [0, -2].

\(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)
A dla tego tego równania, postać parametryczna wygląda:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{1}{2}cos\theta \\ y= \frac{1}{2}sin\theta \end{cases}}\)

A więc czyżby dla naszego równania trzeba jeszcze dołączyć nasz wektor i postać jaką otrzymamy to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{1}{2}cos\theta \\ y= \frac{1}{2}sin\theta + 2 \end{cases}}\)
szw1710

Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Post autor: szw1710 »

Dokładnie o to chodzi, więc jednak zrozumiałeś Ale zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) powinno być 2. To lapsus taki
Sano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 paź 2007, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy

Podaj równanie parametryczne i biegunowe

Post autor: Sano »

Pfu, rzeczywiście dwa. Błąd.

Dzięki wielkie za wytłumaczenie mi tego.
ODPOWIEDZ