współrzędne wierzchołków

aceja · Post autor: **aceja** » 14 wrz 2010, o 21:39

Dany jest kwadrat o przeciwległych wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(1,5),\ C=(-3,-5)}\) wyznacz współrzędne wierzchołków \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) tego kwadratu.

pajong8888 · Post autor: **pajong8888** » 14 wrz 2010, o 21:57

Wyznacz prostą przechodzącą przez te punkty. Oblicz odległość między tymi punktami. Wyznacz środek odcinka AC, następnie wyznacz prostą przechodzącą przez ten środek. Wyznacz punkty na tej prostej prostopadłej odległe od środka odcinka AC o połowę długości odcinka AC.

RatiNa · Post autor: **RatiNa** » 14 wrz 2010, o 22:15

no i wlasnie z tym mam problem a możesz mi troche napisac i pokazac jak to zrobic?-- 14 wrz 2010, o 22:16 --no i wlasnie z tym mam problem a możesz mi troche napisac i pokazac jak to zrobic?

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 14 wrz 2010, o 22:25

Ale z czym konkretnie masz problem? Kolega wyżej podał Ci wskazówki, jak należy się zabrać za to zadanie. Pokaż nam swoje obliczenia, a my poprawimy ewentualne błędy.

aceja · Post autor: **aceja** » 14 wrz 2010, o 22:36

Mógłby ktoś dokładnie napisać z jakich wzorów to obliczać ...jak na razie mam długość odcinka |AC| i wynosi ona \(\displaystyle{ \sqrt{116}}\) z góry dziękuje!!

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 14 wrz 2010, o 22:51

Wyznacz prostą przechodzącą przez te punkty: podstaw dane punkty do równania prostej \(\displaystyle{ y=ax+b}\), rozwiąż układ równań, otrzymasz prostą AC. Odległość, tzn. długość odcinka AC masz już policzoną. Teraz wyznacz środek odcinka AC, tutaj skorzystaj ze wzoru: \(\displaystyle{ S=(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2})}\). Otrzymasz punkt i teraz musisz znaleźć wzór prostej przechodzącej przez ten punkt, która zarazem musi być prostopadła do prostej AC (warunek prostopadłości \(\displaystyle{ a_1 \cdot a_2=-1}\)). Na koniec wyznacz punkty na tej prostej odległe od środka odcinka AC o połowę długości odcinka AC, czyli o \(\displaystyle{ \sqrt{29}}\).

pajong8888 · Post autor: **pajong8888** » 14 wrz 2010, o 22:58

Niech prosta przechodząca przez punkty AC będzie postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
Układ równań wyłoni a i b:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=5\\ -3a+b=-5\end{cases}}\)
Środek odcinka AC ma współrzędne będące średnią arytmetyczną odpowiadających sobie współrzędnych punktu A i punktu C. Będzie to zarazem środek kwadratu \(\displaystyle{ O=(-1,0)}\) oraz punkt przecięcia przekątnych.

Prosta prostopadła do prostej AC będzie miała postać: \(\displaystyle{ l: y=-\frac{1}{a}x+c}\)
Jeżeli ma przechodzic przez punkt O, to w takim układzie \(\displaystyle{ c=0-\frac{1}{a}=-\frac{1}{a}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest wyliczone wcześniej (układ równań, to jest to samo a).
\(\displaystyle{ |AC|=\sqrt{116}\Rightarrow \frac{1}{2}|AC|=\sqrt{29}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{116}=\sqrt{4\cdot 29}=2\sqrt{29}}\)

Teraz mając prostą l i punkt O szukamy punktów położonych na tej prostej i oddalonych od O o\(\displaystyle{ \sqrt{29}}\). Niech to będą punkty \(\displaystyle{ B=(x_B,y_B)}\) oraz \(\displaystyle{ D=(x_D,y_D)}\) Można to zrobić podstawiając do wzoru na odległość pomiędzy punktami albo popatrzeć że punkty B i C muszą leżeć na okręgu o środku w O i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{29}}\), pamiętając, że leżą na prostej l.
Znów układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^2+y^2=29\\ y=-\frac{1}{a}x-\frac{1}{a}\end{cases}}\)

Wyznacz \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Będziesz miała dwie pary rozwiązań, które będą tworzyły współrzędne punktów B i D.