Prosta zadana wzorem, współrzędne wierzchołków kwadratu

[karolcia9966]

Prosta o równaniu \(\displaystyle{ y= -2x+8}\) przecina oś \(\displaystyle{ OX}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i oś \(\displaystyle{ OY}\) w punkcie \(\displaystyle{ B}\). Wyznacz współrzędne wierzchołków kwadratu o przekątnej \(\displaystyle{ AB}\).

[mat_61]

Wskazówka:

- oblicz współrzędne punktów przecięcia tej prostej z osiami OX oraz OY:
- zrób rysunek
- teraz zastanów się jakie są współrzędne dwóch pozostałych wierzchołków kwadratu

[karolcia9966]

Policzyłam współrzędne punktów. \(\displaystyle{ A=(4,0)}\) \(\displaystyle{ B=(0,8)}\)
\(\displaystyle{ AB=(2,4)}\)
a równanie prostej to \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x+4}\)
I co dalej?

[mat_61]

Policzyłam współrzędne punktów. \(\displaystyle{ A=(4,0)}\) \(\displaystyle{ B=(0,8)}\)

To jest oczywiście OK.

\(\displaystyle{ AB=(2,4)}\)

Co oznacza ten zapis?

równanie prostej to \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x+4}\)

Ale jakiej prostej? Bez tej informacji trudno powiedzieć czy jest poprawne.

Teraz należy:

- obliczyć współrzędne środka S odcinka AB
- napisać równanie prostej CD prostopadłej do AB przechodzącej przez punkt S
- znaleźć na prostej CD współrzędne punktów C i D odległych od punktu S o połowę długości odcinka AB

[karolcia9966]

Wierzchołki\(\displaystyle{ C i D}\) leżą na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ y=-2x+8}\)
Współrzedne środka \(\displaystyle{ AB=(2,4)}\)
Współczynnik kierunkowej prostej to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) stąd to równanie prostej o ile dobrze policzyłam?

[mat_61]

Wierzchołki\(\displaystyle{ C i D}\) leżą na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ y=-2x+8}\)

i przechodzącej przez punkt S (środek odcinka AB).

Współrzedne środka \(\displaystyle{ AB=(2,4)}\)

Wynik OK, ale zapis nie za bardzo. Albo należało zapisać słownie, że współrzędne środka odcinka AB wynoszą (2;4) albo oznaczyć środek np. jako S i wówczas zapisać S=(2;4)

Współczynnik kierunkowej prostej to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) stąd to równanie prostej o ile dobrze policzyłam?

Współczynnik kierunkowy jest OK. Mamy więc równanie prostej CD:

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x+b}\)

Jeżeli teraz podstawisz do tego równania współrzędne punktu S(2;4), to otrzymasz:

\(\displaystyle{ 4= \frac{1}{2} \cdot 2+b \Rightarrow b=...}\)

Ile wynosi b?

[karolcia9966]

\(\displaystyle{ b=3}\)

[mat_61]

OK.

Teraz znasz równanie prostej CD i został Ci ostatni punkt ze wskazówek:

- znaleźć na prostej CD współrzędne punktów C i D odległych od punktu S o połowę długości odcinka AB

[karolcia9966]

Teraz utknęłam. Długość odcinka \(\displaystyle{ AB= \sqrt{4 ^{2} } + \sqrt{8 ^{2} }}\) ?

[mat_61]

Nie, długość odcinka, to:

\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{4^{2}+8^{2}}=...}\)

Teraz podziel tą długość przez 2 i poszukaj na prostej CD punktów oddalonych o tą wartość od punktu S(2;4):

\(\displaystyle{ (*) \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^{2}}= \frac{1}{2} \cdot |AB|}\)

Ponieważ te punkty muszą leżeć na prostej CD, to podstaw do równania (*):

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x+3}\)

i z równania (*) wyznacz wartości x

[karolcia9966]

\(\displaystyle{ AB=4 \sqrt{5}}\) ?-- 11 wrz 2010, o 16:59 --Sorry, źle policzyłam to \(\displaystyle{ AB}\)

[mat_61]

OK.
I teraz dalej.

[karolcia9966]

\(\displaystyle{ (x-2) ^{2} + ( \frac{1}{2} x+3-4) ^{2} =5}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -4x+4+ \frac{1}{4} x ^{2} =5}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{4} x ^{2} -5x+5=25}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{4} x ^{2} -5x-20=0 /* \frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -4x-16=0}\)
czy dobrze to liczę?

[mat_61]

Po prawej stronie miało być \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot |AB|}\), czyli po podniesieniu do kwadratu mamy:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{5}\right) ^{2}=20}\)

Równanie będzie wyglądać więc tak:

\(\displaystyle{ (x-2) ^{2} + ( \frac{1}{2} x+3-4) ^{2} =20}\)

Teraz przekształć to równanie i je rozwiąż. W ten sposób wyznaczysz współrzędne x punktów C i D. Współrzędne y wyznaczysz z równania prostej CD:

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x+3}\).

W drugie linijce swoich obliczeń chyba o czymś zapomniałaś (pominęłaś dwa składniki) - zrób odpowiednie poprawki.