Punkt wspólny dwóch krzywych danych parametrycznie

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
konstruktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 10 wrz 2010, o 20:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mińśk Mazowiecki

Punkt wspólny dwóch krzywych danych parametrycznie

Post autor: konstruktor »

Witam,
przedstawiam ciekawy problem: dwie krzywe (na płaszczyźnie) dane parametrycznie mają jeden (lub więcej) punkt wspólny. Jak określić współrzędne tego punktu nie zmieniając formy zapisu krzywych, czyli wtedy, gdy rugowanie parametru z równań jest wybitnie nieefektywne. Docenię każdy pomysł wiodący ku rozwiązaniu
szw1710

Punkt wspólny dwóch krzywych danych parametrycznie

Post autor: szw1710 »

Wydaje mi się, że wtedy ważne jest pokombinowanie i podanie jakiegoś wspólnego pomysłu jest trudne. To tak jak z kobietą - na każdą jest inna metoda Podaj konkretny przykład o którym myslisz.
konstruktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 10 wrz 2010, o 20:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mińśk Mazowiecki

Punkt wspólny dwóch krzywych danych parametrycznie

Post autor: konstruktor »

Zacznijmy więc od prostego przykładu - dwa przecinające się okręgi:

\(\displaystyle{ x _{1} =cos(t)}\)
\(\displaystyle{ y _{1} =sin(t)}\)

\(\displaystyle{ x _{2} =cos(t)+1}\)
\(\displaystyle{ y _{2} =sin(t)}\)

Dla takiego przykładu metodami kombinowanymi można bez problemu dojść do rozwiązania, jednak bardzo zależy mi na metodzie, którą można zastosować dla ogólniejszych przypadków. Upieram się przy tym, ponieważ równania z którymi się męczę są długie, wielokrotnie zagnieżdżone w funkcjach trygonometrycznych, które jak na złość nie chcą się skracać.
szw1710

Punkt wspólny dwóch krzywych danych parametrycznie

Post autor: szw1710 »

To rzeczywiście jest proste i chyba nie trzeba podawać tu rozwiązania

Może taki pomysł: czy próbowałeś np. zmienić parametryzację tak, żeby z nowej parametryzacji jednak wyrugować parametr? W przykładzie powyżej tak dałoby się zrobić, np. zamiast sinusa na y pisząc nowy parametr, powiedzmy s. Wtedy cosinus policzy się łatwo, a równania, które dostaniemy, też nie będą chyba zbyt trudne. I to powinno działać na ogólniejszej klasie parametryzacji.
konstruktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 10 wrz 2010, o 20:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mińśk Mazowiecki

Punkt wspólny dwóch krzywych danych parametrycznie

Post autor: konstruktor »

W takim razie jak zabrać się do tego?:

Obie krzywe mają podobny zapis, różnią się szczegółami, więc zapiszę równania tylko jednej z nich. Kolejne litery alfabetu są stałymi, zmienna jak widać \(\displaystyle{ \alpha}\) w dziedzinie od 0 do 2\(\displaystyle{ \pi}\)

\(\displaystyle{ x( \alpha ) =A*cos( \alpha )+B*cos(C* \alpha )-D*cos( \alpha +arctan( \frac{sin(E* \alpha )}{F ^{-1}+cos(E* \alpha ) } ))}\)
\(\displaystyle{ y( \alpha ) =A*sin( \alpha )+B*sin(C* \alpha )-D*sin( \alpha +arctan( \frac{sin(E* \alpha )}{F ^{-1}+cos(E* \alpha ) } ))}\)

PS Dzięki za zainteresowanie
szw1710

Punkt wspólny dwóch krzywych danych parametrycznie

Post autor: szw1710 »

Tak od razu trudno tu mieć pomysł , rzeczywiście paskudztwo. Gwoli żartu: Dla B=D=0 mamy okrąg i sprawa jest prosta A poważnie: nie mam tu gotowego pomysłu, może ktoś inny też się włączy w dyskusję.
ODPOWIEDZ