Matematyka.pl

Witam.

Zadanie polega na tym, że mam wykazać, że podane proste są prostymi skośnymi.

\(\displaystyle{ l_{1}: \ \frac{x-3}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{3} \\
l_{2}: \ \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{2}}\)

Z tego jasno wynika, że:

\(\displaystyle{ \vec{a_{1}}=[4,3,3] \\
\vec{a_{2}}=[3,4,2] \\
p_{1}=(3,0,-1) \\
p_{2}=(2,-1,0)}\)

Teraz nie wiem jak wykonać to zadanie. Pomysły mam dwa.

1) wykazać, że proste nie są równoległe poprzez pokazanie

\(\displaystyle{ \frac{\vec{a_{1}}}{\vec{a_{2}}}\neq k}\) gdzie k jest stałą liczbą niezerową

potem wykazać, że proste nie mają punktu wspólnego rozwiązując równanie?

2) ktoś mi podrzucił taki pomysł:

\(\displaystyle{ ( \vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}}) \cdot \vec{p_{1}p_{2}}=0}\)

Przyznam, że tego trochę nie za bardzo rozumiem, tzn. Wiem, że iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych prostych da wektor prostopadły do obu wektorów a1 i a2. I ten powstały wektor ma być prostopadły do wektora łączącego obie proste? Chyba nie bardzo? Chyba właśnie NIE powinien być prostopadły tj. iloczyn skalarny powinien być \(\displaystyle{ \neq 0}\)?

Z góry dzięki.

Można też obliczyć wykładnik:
jeśli
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2\end{array}\right| \neq 0}\)
gdzie
\(\displaystyle{ (x_1,y_1,z_1)=P_1}\)
\(\displaystyle{ (x_2,y_2,z_2)=P_2}\)
\(\displaystyle{ [l_1,m_1,n_1]= \vec{a}}\)
\(\displaystyle{ [l_2,m_2,n_2]=\vec{b}}\),
to proste są skośne-- 8 wrz 2010, o 00:05 --\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\4&3&3\\3&4&2\end{array}\right|=-6-9+16-9+12+8=36-24=12 \neq 0}\)
Proste są skośne

Pierwszy sposób będzie jak najbardziej OK.

W drugim sposobie powinno być \(\displaystyle{ \neq 0}\). Gdyby podane wyrażenie było równe zeru, to albo dlatego, że \(\displaystyle{ \vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}}=0}\) (wektory kierunkowe są równoległe, czyli proste też), albo wektor łączący dwa punkty tych prostych byłby prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny równoległej do obu tych prostych. To oznaczałoby, że istnieje płaszczyzna równoległa do obu tych prostych, zawierająca co najmniej po jednym punkcie każdej z tych prostych (czyli w praktyce zawierająca obie te proste).

Mam nadzieję, że nie namieszałem, w każdym razie obie metody są poprawne.

-- 7 września 2010, 23:11 --

Nawiasem mówiąc - irena_1, zauważ, że to co napisałaś, to właśnie druga z opisanych metod.

Skoro proponuje Pani wykładnik to znaczy, że \(\displaystyle{ ( \vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}}) \cdot \vec{p_{1}p_{2}} \neq 0}\) jest w tym przypadku słuszne?

Wyobrażam sobie to wszystko mniej-więcej w przestrzeni, ale mimo wszystko chciałbym usłyszeć dlaczego ten wyznacznik jest poprawny? jakie to ma uzasadnienie?