wyznacz odległość punktu od prostej

[FunTastic]

Witam mam zadanie do wykonania i nie wiem jak sie za nie zabrać

ZADANIE:
Wyznaczyć odległość od ptk (1,1,1) od prostej, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny:
\(\displaystyle{ 2x-y+z=3}\)
oraz
\(\displaystyle{ x-3y+3z=4}\)

Będę wdzięczny

[irena_1]

Punkty wspólne tych płaszczyzn: (1, 0, 1) i (1, -1, 0). Wektor kierunkowy prostej: [0, 1, 1].
Równanie parametryczne:
\(\displaystyle{ l:\ \begin{cases} x=1\\y=t\\z=1+t \end{cases}}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0=1\\y_0=1\\z_0=1 \end{cases} \\ \begin{cases} x_1=1\\y_1=0\\z_1=1 \end{cases} \\ \begin{cases} l=0\\m=1\\n=1 \end{cases}}\)
d- odległość punktu od prostej:
\(\displaystyle{ d=\frac{\sqrt{\left|\begin{array}{ccc}y_1-y_0&z_1-z_0\\m&n\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{ccc}z_1-z_0&x_1-x_0\\n&l\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{ccc}x_1-x_0&y_1-y_0\\l&m\end{array}\right|^2}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}}\)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-1&0\\1&1\end{array}\right|=-1\\\left|\begin{array}{ccc}0&0\\1&0\end{array}\right|=0\\\left|\begin{array}{ccc}0&-1\\0&1\end{array}\right|=0}\)

\(\displaystyle{ d=\frac{\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

[Crizz]

Można też tak: niech \(\displaystyle{ P=(1,1,1)}\). zacznij od wyznaczenia wzoru prostej w postaci parametrycznej (jak wyżej), a potem znajdź \(\displaystyle{ \vec{P_{0}P}}\), gdzie \(\displaystyle{ P_{0}}\) jest rzutem \(\displaystyle{ P}\) na podaną prostą.

Skorzystaj z tego, że:
\(\displaystyle{ P_{0}}\) należy do tej prostej
\(\displaystyle{ \vec{P_{0}P}}\) jest prostopadły do tej prostej, a więc też do jej wektora kierunkowego

Przy pierwszej wskazówce wykorzystaj parametryczne przepisy na \(\displaystyle{ x,y,z}\), przy drugiej zrób użytek z iloczynu skalarnego.

[FunTastic]

a skąd wziąć tzn policzyć punkty wspólne tych płaszczyzn ?

[Crizz]

Zgadnij. Podstaw przykładowo \(\displaystyle{ x=2}\) i rozwiąż powstały układ równań z dwiema niewiadomymi \(\displaystyle{ y,z}\). irena_1 podstawiła \(\displaystyle{ x=1}\) i okazało się akurat, że powstał układ nieoznaczony, więc łatwo było znaleźć od razu kilka punktów więcej (\(\displaystyle{ y,z}\) można było dobrać dowolnie, byle tylko \(\displaystyle{ -y+z=1}\)).