Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...
Witam.
Ostatnio na Egz z Matematyki miałem takie o to zadanie:
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt \(\displaystyle{ \textbf{A}}\)\(\displaystyle{ (1;0;-1)}\) i równoległej do prostych:
\(\displaystyle{ L_{1}: \begin{cases} x+y+z+1=0\\x-2y+3z=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L_{2}: \left\{\begin{array}{l} x=1+t\\y=2-2t\\z=3+3t \end{array}}\)
Niestety nie mogę tego ogarnąć... proszę o Pomoc
Ostatnio na Egz z Matematyki miałem takie o to zadanie:
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt \(\displaystyle{ \textbf{A}}\)\(\displaystyle{ (1;0;-1)}\) i równoległej do prostych:
\(\displaystyle{ L_{1}: \begin{cases} x+y+z+1=0\\x-2y+3z=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L_{2}: \left\{\begin{array}{l} x=1+t\\y=2-2t\\z=3+3t \end{array}}\)
Niestety nie mogę tego ogarnąć... proszę o Pomoc
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2010, o 10:20 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...
Wektor kierunkowy pierwszej prostej wyliczasz jako iloczyn wektorowy wektorów normalnych podanych płaszczyzn, tzn. \(\displaystyle{ [1,1,1] \times [1,-2,3]}\). Wektor kierunkowy drugiej prostej odczytujesz: \(\displaystyle{ [1,-2,3]}\). Mając te dwa wektory, liczysz ich iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ [A,B,C]}\), który będzie wektorem normalnym szukanej płaszczyzny.
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...
Kurczę.... Nie łapię tego... mógł byś to rozwiązać.? ja mam jeszcze 2 takie zadanie to przeanalizuje sobie robiąc
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...
OK, w tym zadaniu korzystamy przede wszystkim z faktu, że wektor \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) jest prostopadły do płaszczyzny o równaniu \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Ten wektor będę nazywał wektorem normalnym płaszczyzny. Mamy podane równanie prostej w postaci krawędziowej, tzn. jako wspólną prostą dwóch płaszczyzn. Wystarczy obliczyć iloczyn wektorowy wektorów normalnych podanych płaszczyzn i otrzymujemy wektor kierunkowy tej prostej.
Wynika to z faktu, że licząc iloczyn wektorowy dwóch wektorów, otrzymujemy wektor prostopadły do obu tych wektorów.
Najpierw policz iloczyn wektorowy wektorów, które wymieniłem. Wzór na iloczyn wektorowy:
Jeśli \(\displaystyle{ \vec{a}=[a_{x},a_{y},a_{z}],\vec{b}=[b_{x},b_{y},b_{z}]}\), to iloczyn wektorowy tych wektorów wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vector{b}=\left|\begin{matrix} i&j&k \\ a_{x}&a_{y}&a_{z} \\ b_{x}&b_{y}&b_{z} \end{matrix} \right|}\)
gdzie \(\displaystyle{ i=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]}\)
Potem pójdziemy dalej.
Wynika to z faktu, że licząc iloczyn wektorowy dwóch wektorów, otrzymujemy wektor prostopadły do obu tych wektorów.
Najpierw policz iloczyn wektorowy wektorów, które wymieniłem. Wzór na iloczyn wektorowy:
Jeśli \(\displaystyle{ \vec{a}=[a_{x},a_{y},a_{z}],\vec{b}=[b_{x},b_{y},b_{z}]}\), to iloczyn wektorowy tych wektorów wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vector{b}=\left|\begin{matrix} i&j&k \\ a_{x}&a_{y}&a_{z} \\ b_{x}&b_{y}&b_{z} \end{matrix} \right|}\)
gdzie \(\displaystyle{ i=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]}\)
Potem pójdziemy dalej.
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...
zadanie rozwiazalam na polowie strony A4 wiec w razie problemow - pisz
bo serio jest ono jednym z latwiejszych ;P
bo serio jest ono jednym z latwiejszych ;P
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...
Wiecie co miałem korki i pewien Dr z Kulu nie był w stanie tego rozwiązać ;D
Siadłem z Dziewczyną do tego zadanka i wyszło nam tak...
\(\displaystyle{ -11x+7y+z+5=0}\)
Dobrze?
Bo jeżeli jest źle to ja jestem jakieś nie łapiący
Siadłem z Dziewczyną do tego zadanka i wyszło nam tak...
\(\displaystyle{ -11x+7y+z+5=0}\)
Dobrze?
Bo jeżeli jest źle to ja jestem jakieś nie łapiący
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...
Ten doktor to chyba socjologii.
Najpierw liczysz iloczyn wektorowy wektorów normalnych płaszczyzn podanych w równaniu pierwszej prostej:
\(\displaystyle{ [1,1,1] \times [1,-2,3]=[5,-2,3]}\)
Otrzymujesz wektor kierunkowy tej prostej.
Teraz szukamy wektora normalnego płaszczyzny, którą mamy wyznaczyć. Interesuje nas taki wektor, który będzie prostopadły do obydwu podanych prostych (gdyż wtedy płaszczyzna, której wektorem normalnym będzie taki wektor, będzie równoległa do obu tych prostych). Szukamy zatem wektora, który będzie prostopadły do wektorów kierunkowych obu prostych, tzn. \(\displaystyle{ [5,-2,3]}\) oraz \(\displaystyle{ [1,-2,3]}\). Takim wektorem będzie iloczyn wektorowy podanych wektorów:
\(\displaystyle{ [5,-2,3] \times [1,-2,3]=[-12,-18,-8]}\).
Równanie płaszczyzny będzie miało postać \(\displaystyle{ -12x-18y-8z+D=0}\) (dlaczego? Patrz mój poprzedni post). \(\displaystyle{ D}\) musi być tak dobrane, żeby do płaszczyzny należał punkt \(\displaystyle{ A}\). Podstaw współrzędne punktu \(\displaystyle{ A}\) do tego równania i wylicz \(\displaystyle{ D}\).
Najpierw liczysz iloczyn wektorowy wektorów normalnych płaszczyzn podanych w równaniu pierwszej prostej:
\(\displaystyle{ [1,1,1] \times [1,-2,3]=[5,-2,3]}\)
Otrzymujesz wektor kierunkowy tej prostej.
Teraz szukamy wektora normalnego płaszczyzny, którą mamy wyznaczyć. Interesuje nas taki wektor, który będzie prostopadły do obydwu podanych prostych (gdyż wtedy płaszczyzna, której wektorem normalnym będzie taki wektor, będzie równoległa do obu tych prostych). Szukamy zatem wektora, który będzie prostopadły do wektorów kierunkowych obu prostych, tzn. \(\displaystyle{ [5,-2,3]}\) oraz \(\displaystyle{ [1,-2,3]}\). Takim wektorem będzie iloczyn wektorowy podanych wektorów:
\(\displaystyle{ [5,-2,3] \times [1,-2,3]=[-12,-18,-8]}\).
Równanie płaszczyzny będzie miało postać \(\displaystyle{ -12x-18y-8z+D=0}\) (dlaczego? Patrz mój poprzedni post). \(\displaystyle{ D}\) musi być tak dobrane, żeby do płaszczyzny należał punkt \(\displaystyle{ A}\). Podstaw współrzędne punktu \(\displaystyle{ A}\) do tego równania i wylicz \(\displaystyle{ D}\).