Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Baranek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 5 wrz 2010, o 08:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...

Post autor: Baranek »

Witam.

Ostatnio na Egz z Matematyki miałem takie o to zadanie:

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt \(\displaystyle{ \textbf{A}}\)\(\displaystyle{ (1;0;-1)}\) i równoległej do prostych:
\(\displaystyle{ L_{1}: \begin{cases} x+y+z+1=0\\x-2y+3z=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ L_{2}: \left\{\begin{array}{l} x=1+t\\y=2-2t\\z=3+3t \end{array}}\)


Niestety nie mogę tego ogarnąć... proszę o Pomoc
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2010, o 10:20 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...

Post autor: Crizz »

Wektor kierunkowy pierwszej prostej wyliczasz jako iloczyn wektorowy wektorów normalnych podanych płaszczyzn, tzn. \(\displaystyle{ [1,1,1] \times [1,-2,3]}\). Wektor kierunkowy drugiej prostej odczytujesz: \(\displaystyle{ [1,-2,3]}\). Mając te dwa wektory, liczysz ich iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ [A,B,C]}\), który będzie wektorem normalnym szukanej płaszczyzny.
Baranek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 5 wrz 2010, o 08:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...

Post autor: Baranek »

Kurczę.... Nie łapię tego... mógł byś to rozwiązać.? ja mam jeszcze 2 takie zadanie to przeanalizuje sobie robiąc
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...

Post autor: Crizz »

OK, w tym zadaniu korzystamy przede wszystkim z faktu, że wektor \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) jest prostopadły do płaszczyzny o równaniu \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Ten wektor będę nazywał wektorem normalnym płaszczyzny. Mamy podane równanie prostej w postaci krawędziowej, tzn. jako wspólną prostą dwóch płaszczyzn. Wystarczy obliczyć iloczyn wektorowy wektorów normalnych podanych płaszczyzn i otrzymujemy wektor kierunkowy tej prostej.

Wynika to z faktu, że licząc iloczyn wektorowy dwóch wektorów, otrzymujemy wektor prostopadły do obu tych wektorów.

Najpierw policz iloczyn wektorowy wektorów, które wymieniłem. Wzór na iloczyn wektorowy:
Jeśli \(\displaystyle{ \vec{a}=[a_{x},a_{y},a_{z}],\vec{b}=[b_{x},b_{y},b_{z}]}\), to iloczyn wektorowy tych wektorów wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vector{b}=\left|\begin{matrix} i&j&k \\ a_{x}&a_{y}&a_{z} \\ b_{x}&b_{y}&b_{z} \end{matrix} \right|}\)
gdzie \(\displaystyle{ i=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]}\)
Potem pójdziemy dalej.
Awatar użytkownika
paulisian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 4 sty 2010, o 16:58
Płeć: Kobieta

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...

Post autor: paulisian »

zadanie rozwiazalam na polowie strony A4 wiec w razie problemow - pisz
bo serio jest ono jednym z latwiejszych ;P
Baranek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 5 wrz 2010, o 08:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...

Post autor: Baranek »

Wiecie co miałem korki i pewien Dr z Kulu nie był w stanie tego rozwiązać ;D

Siadłem z Dziewczyną do tego zadanka i wyszło nam tak...

\(\displaystyle{ -11x+7y+z+5=0}\)

Dobrze?
Bo jeżeli jest źle to ja jestem jakieś nie łapiący
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...

Post autor: Crizz »

Ten doktor to chyba socjologii.

Najpierw liczysz iloczyn wektorowy wektorów normalnych płaszczyzn podanych w równaniu pierwszej prostej:
\(\displaystyle{ [1,1,1] \times [1,-2,3]=[5,-2,3]}\)
Otrzymujesz wektor kierunkowy tej prostej.

Teraz szukamy wektora normalnego płaszczyzny, którą mamy wyznaczyć. Interesuje nas taki wektor, który będzie prostopadły do obydwu podanych prostych (gdyż wtedy płaszczyzna, której wektorem normalnym będzie taki wektor, będzie równoległa do obu tych prostych). Szukamy zatem wektora, który będzie prostopadły do wektorów kierunkowych obu prostych, tzn. \(\displaystyle{ [5,-2,3]}\) oraz \(\displaystyle{ [1,-2,3]}\). Takim wektorem będzie iloczyn wektorowy podanych wektorów:
\(\displaystyle{ [5,-2,3] \times [1,-2,3]=[-12,-18,-8]}\).

Równanie płaszczyzny będzie miało postać \(\displaystyle{ -12x-18y-8z+D=0}\) (dlaczego? Patrz mój poprzedni post). \(\displaystyle{ D}\) musi być tak dobrane, żeby do płaszczyzny należał punkt \(\displaystyle{ A}\). Podstaw współrzędne punktu \(\displaystyle{ A}\) do tego równania i wylicz \(\displaystyle{ D}\).
Baranek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 5 wrz 2010, o 08:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez PKt...

Post autor: Baranek »

Ok zrozumiałem Dzięki!
ODPOWIEDZ