Współrzędne punktu C.

[gladek]

Punkty \(\displaystyle{ A=(2,0)}\) i \(\displaystyle{ B=(12,0)}\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=x}\). Oblicz współrzędne punktu C.

[Crizz]

Oznacz sobie punkt C jako \(\displaystyle{ C=(x_{0},x_{0})}\). Wyznacz wektory BC i AC i znajdź takie \(\displaystyle{ x_{0}}\), dla którego iloczyn skalarny tych dwóch wektorów jest równy zeru.

[osa]

podpowiedź: skorzystaj z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia pitagorasa

rozwiązanie:

Ukryta treść:    

punkt c leży na prostej y=x, więc jego współrzędne oznaczmy jako (a,a). Wtedy zauważ, że odległość punktu C od punktu A to \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+(a-2)^2}}\), chyba, że \(\displaystyle{ a<2}\), a z rysunku wynika, że tak nie jest. dalej, odległość punktu C od punktu B to \(\displaystyle{ g=\sqrt{a^2+(12-a)^2}}\), chyba, że \(\displaystyle{ h=a>12}\), ale znowu z rysunku wynika, że tak nie może być.
teraz musimy tylko podstawić do równania zadanego przez twierdzenie pitagorasa.

\(\displaystyle{ 100=g^2+h^2}\)
to jest równoważne
\(\displaystyle{ 100=a^2+(12-a)^2+a^2+(a-2)^2=4a^2-28a+148}\)
przenieśmy 100 na prawą stronę i zamieńmy prawą stronę z lewą i dostajemy:
\(\displaystyle{ 4a^2-28a+48=0}\)
podzielmy teraz stronami przez 4
\(\displaystyle{ a^2-7a+12=0}\)
rozwiązując równanie kwadratowe dostajemy wynik \(\displaystyle{ a=3}\) lub \(\displaystyle{ a=4}\)
teraz sprawdźmy, czy oba rozwiązania są prawidłowe używając znowu twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa (odległości liczymy używając z kolei pitagorasa )
dla a=3 \(\displaystyle{ 100=10+90}\) zgadza się
dla a=4 \(\displaystyle{ 100=20+80}\) też się zgadza

czyli nie popełniliśmy błędu obliczeniowego. są 2 rozwiązania C=(3,3) lub C=(4,4)

pozdrawiam i mam nadzieję, że pomogłem

edit: teraz tak sobie pomyślałem, że można by to rozwiązać też drugą metodą. obliczeniowo krótszą, ale wymagającą pewnego pomysłu. Można skorzystać z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym w okręgu. Zauważ, że jeżeli narysujemy okrąg o promieniu 5 i środku w (7,0) to punkty przecięcia okręgu i prostej y=x będą poszukiwanymi punktami. wyjdzie oczywiście to samo, a równania tylko 2 ale za to równanie okręgu jest odrobinkę bardziej skomplikowane. na pewno byłaby to jednak najprostsza metoda gdyby miało być rozwiązane konstrukcyjnie

[Crizz]

Natomiast prostsza metoda, bez kombinowania z rysunkiem:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \vec{AC}=[x_{0}-2,x_{0}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BC}=[x_{0}-12,x_{0}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC} \circ \vec{BC}=(x_{0}-2)(x_{0}-12)+x_{0}^{2}=2x^{2}-14x+24}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC} \circ \vec{BC}=0}\) dla \(\displaystyle{ 2x^{2}-14x+24=0}\),
czyli dla \(\displaystyle{ x=3 \vee x=4}\)

[gladek]

osa, wytłumacz mi te pierwiastki, jak ci one wyszły, chodzi mi o te odległosci A od C i B od C.

[osa]

z twierdzenia pitagorasa jak zrobisz rysunek to pewnie od razu zrozumiesz.

te pierwiastki są wyciągnięte z sumy kwadratów różnic współrzędnych