Wzajemne położenie płaszczyzn i prostych.

[ola_wawa_pw]

Witam.
Mam problem z dwoma następującymi zadaniami.

Zad.1
Pokazać, że proste \(\displaystyle{ l_{1}:}\) \(\displaystyle{ x+y-z-1=0\\ 2x-2y-z+1}\) i \(\displaystyle{ l_{2}:}\) \(\displaystyle{ x=-y \\2x-y+3z=6}\) przecinają się. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez ich punkt przegięcia i prostopadłej do płaszczyzny zawierającej te proste.
I sposób:
\(\displaystyle{ l_{1} : x+y-z-1=0\\ 2x-2y-z+1=0}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x=z-y-1 \\ 2z-2y-2-2y-z+1=0}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x=z-y-1\\z-4y-1=0\\y=t}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x=z-t-1\\z=1-4t\\y=t}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x=-5t\\y=t\\z=1-4t}\)
Więc, wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l_1 : \vec{V} = [-5, 1 , -4]}\) i pkt.A(0,0,1)

\(\displaystyle{ l_2 : x=-y\\ 2x-y+3z=6}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x=-y\\-2y-y+3z=6}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x=-y\\-y+z=6\\y=s}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ x=-s\\y=s\\z=6+s}\)

Więc, wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l_2}\) : \(\displaystyle{ \vec{U} = [-1,1,1]}\) i pkt.B(0,0,6)

Porównujemy:
\(\displaystyle{ x=-5t\\y=t\\z=1-4t}\) i \(\displaystyle{ x=-s\\y=s\\z=6+s}\)

\(\displaystyle{ -5t=-s \\ t=s}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ t=0\\s=0\\ z=1 lub z=6}\)

Czyli bezsensu , bo wychodzi , że nie mają pkt. wspólnego.

II sposób : To liczyłam macierzami i wyszedł mi układ sprzeczny. Nie potrawie go "tutaj" zapisać.

zad. 2
Zbadać wzajemne położenie trzech płaszczyzn:
\(\displaystyle{ H_1: 2x-y+3z-1=0 \\ H_2: x+2y-z+3=0 \\ H_3: x+7y-6z+10=0}\)
Jeśli przecinają się wzdłuż prostej, to obliczyć odległość punktu od tej prostej.

[irena_1]

W zad. 1. proste \(\displaystyle{ l_1}\) i \(\displaystyle{ l_2}\) na pewno nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Ale sprawdź, czy nie pomyliłaś się przy wyznaczaniu równań parametrycznych:

\(\displaystyle{ l_1}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-z-1=0 \\ 2x-2y-z+1=0 \end{cases} \\z=x+y-1\\2x-2y-x-y+1+1=0\\x-3y+2=0\\y=t\\x-3t+2=0\\x=-2+3t\\z=3t-2+t-1\\z=4t-3\\l_1: \begin{cases} x=-2+3t\\y=t\\z=-3+4t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ l_2}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y \\ 2x-y+3z=6\end{cases} \\y=s\\x=-s\\-2s-s+3z=6\\3z=6+3s\\z=2+s\\l_2: \begin{cases} x=-s\\y=s\\z=2+s \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2+3t=-s \\ t=s\\-3+4t=2+s\end{cases} \\ \begin{cases} t=\frac{1}{2}\\t=s\\t=\frac{5}{3} \end{cases}}\)

Ten układ nie ma rozwiązań. Wykładnik macierzy jest różny od zera (proste są skośne).

[ola_wawa_pw]

Popełniłam błąd rachunkowy przy wyznaczaniu równań parametrycznych.

Dziękuje za pomoc.

[irena_1]

2.
Sprawdzałam rzędy macierzy. I tak:
dla pierwszych dwu płaszczyzn:
\(\displaystyle{ r\begin{bmatrix}2 &-1 &3\\1& 2& -1\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}2 &-1&5\\1&2&0\end{bmatrix}=\\=r\begin{bmatrix}2&0&5\\1&2&0\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}2&0&5\\0&2&0\end{bmatrix}=\\=r\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}=2}\)
Płaszczyzny się przecinają.

Dla pierwszej i trzeciej:
\(\displaystyle{ r\begin{bmatrix}1&2&-1\\1&7&-6\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}1&2&0\\1&7&-5\end{bmatrix}=..=\\=r\begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=2}\)
Płaszczyzny się przecinają

Dla drugiej i trzeciej:
\(\displaystyle{ r\begin{bmatrix}2&-1&3\\1&7&-6\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}2&-1&1\\1&7&-2\end{bmatrix}=\\=r\begin{bmatrix}2&0&1\\1&5&-2\end{bmatrix}=...=r\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}=2}\)
Płaszczyzny się przecinają.

Szukam prostej wspólnej dla pierwszych dwu płaszczyzn:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+3z-1=0 \\ x+2y-z+3=0\end{cases} \\z=t\\x=-\frac{1}{5}-t\\y=-\frac{7}{5}+t\\l_1: \begin{cases} x=-\frac{1}{5}-t\\y=-\frac{7}{5}+t\\z=t \end{cases}}\)

Prosta wspólna dla pierwszej i trzeciej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+3z-1=0 \\ x+7y-6z+10=0\end{cases} \\z=s\\x=-\frac{1}{5}-s\\y=-\frac{7}{5}+s\\l_2: \begin{cases} x=-\frac{1}{5}-s\\y=-\frac{7}{5}+s\\z=s \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ l_1=l_2}\)
.
Płaszczyzny są współpękowe (przecinają się wzdłuż tej samej prostej).-- 29 sie 2010, o 18:05 --Nie napisałaś o jaki punkt chodzi w zad. 2.

[ola_wawa_pw]

Niestety nie został podany. Może mam nie do końca spisane polecenie.
Czy istnieje jeszcze inna metoda rozwiązywania zad.2 niż rząd macierzy?

[irena_1]

Tak. Płaszczyzny o równaniach:
\(\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0}\) i \(\displaystyle{ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}\)
przecinają się, jeśli co najmniej jeden z warunków zachodzi:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}A_1&B_1\\A_2&B_2\end{array}\right| \neq 0}\)
lub
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}B_1&C_1\\B_2&C_2\end{array}\right| \neq 0}\)
lub
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}C_1&A_1\\C_2&A_2\end{array}\right| \neq 0}\)