Równanie stycznych do okręgu o równaniu

[czarnulka1234]

Napisz równania stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ {x^2} + {y^2} +2x-6y=0}\) i prostopadłych do prostej o równaniu \(\displaystyle{ x-y=7}\).

[Crizz]

Niech szukana prostą będzie \(\displaystyle{ y=ax+b}\).

Proste \(\displaystyle{ y=a_{1}x+b_{1},y=a_{2}x+b_{2}}\) są prostopadłe, gdy \(\displaystyle{ a_{1}a_{2}=-1}\). Skoro szukana prosta ma być prostopadła do \(\displaystyle{ x-y=7}\) (czyli \(\displaystyle{ y=x-7}\)), to musi zachodzić \(\displaystyle{ a \cdot 1=-1}\), czyli \(\displaystyle{ a=-1}\).

Szukasz teraz takiego \(\displaystyle{ b}\), że układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + y^{2} +2x-6y=0 \\ y=-x+b \end{cases}}\)
ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Podstaw \(\displaystyle{ -x+b}\) w miejsce \(\displaystyle{ y}\) w pierwszym równaniu; otrzymasz równanie kwadratowe. Wyznacz takie \(\displaystyle{ b}\), żeby to równanie miało dokładnie jedno rozwiązanie (kiedy równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie?)

[lukasz1804]

Z warunku prostopadłości prostych wynika, że styczne są prostymi o równaniach \(\displaystyle{ y=-x+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ b}\).
Równanie okręgu w postaci jawnej jest postaci \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y-3)^2=10}\), więc środek okręgu to punkt \(\displaystyle{ (-1,3)}\), a promień okręgu ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\).
Ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy zatem \(\displaystyle{ \sqrt{10}=\frac{|1\cdot(-1)+1\cdot 3-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b-2|}{\sqrt{2}}}\).
Z otrzymanego równania wystarczy wyznaczyć (dwie) wartości niewiadomej \(\displaystyle{ b}\) i każdą z nich wstawić do zapisanego powyżej równania stycznej.

(To, że istnieją dwie styczne spełniające warunki zadania nie budzi raczej wątpliwości...)