Dla jakich wartości parametru punkt należy do koła

[E30]

Liczby \(\displaystyle{ x _{1}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\) są różnymi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x ^{2} -2 \sqrt{2}x + p ^{2} + 1 = 0}\). Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) punkt \(\displaystyle{ (x _{1},x _{2})}\) należy do koła o środku \(\displaystyle{ S = (0,0)}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) ?

Nie wiem czy robię błąd w sposobie rozwiazania czy błąd rachunkowy.

Znajduję pierwiastki równania za pomocą delty, wychodzi mi \(\displaystyle{ x _{1} = \sqrt{2} - \sqrt{1-p ^{2} }}\) i \(\displaystyle{ x _{2} = \sqrt{2} + \sqrt{1-p ^{2} }}\).

Liczę odległość środka koła od punktu \(\displaystyle{ (x _{1} ,x _{2} )}\) i po podstawieniu do nierówności wychodzi mi że \(\displaystyle{ p ^{2} \ge 1}\), czyli wg odpowiedzi zły wynik.

prosze o sprawdzenie

[miki999]

Z Twoich zapisków wnioskuję, że \(\displaystyle{ \Delta=1-p ^{2}}\) (ewentualnie przemnożona jeszcze przez jakiś stały współczynnik, który jest nieistotny w mojej wypowiedzi). Zauważ, że aby \(\displaystyle{ x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\) (\(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\)) istniało, to musi być: \(\displaystyle{ \Delta>0}\).

Widzę, że liczenie nierówności Ci dosyć sprawnie poszło, ale podpowiem, że można było wykorzystać wzory Viete'a.



Pozdrawiam.

[irena_1]

1.
\(\displaystyle{ \Delta=12-4p^2-4=8-4p^2\\8-4p^2>0\\4p^2<8\\p^2<2\\p \in (-\sqrt{2};\ \sqrt{2})}\)

Punkt \(\displaystyle{ (x_1;\ x_2)}\) należy do tego koła, jeśli:
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2 \le 5}\)

\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}\)

Ze wzorów Vieta:
\(\displaystyle{ (\frac{2\sqrt{2}}{1})^2-2\cdot\frac{p^2+1}{1} \le 5\\8-2p^2-2 \le 5\\6-2p^2 \le 5\\2p^2 \ge 1\\p^2 \ge \frac{1}{2}\\p \in (-\infty;\ -\frac{\sqrt{2}}{2})\ \cup \ (\frac{\sqrt{2}}{2};\ \infty)}\)

Oba warunki mają być spełnione, więc:
\(\displaystyle{ p \in (-\sqrt{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2})\ \cup \ (\frac{\sqrt{2}}{2};\ \sqrt{2})}\)

[Mersenne]

irena_1 czemu piszesz pełne rozwiązania? moim zdaniem wskazówki są lepsze, naprowadzają i skłaniają do samodzielnego myślenia

[irena_1]

Przepraszam, obiecuję poprawę. Pozdrawiam

[ngothutrang]

to zadanie jest blednie zrobione, tzn w jednym miejscu przy delcie bo \(\displaystyle{ (2\sqrt{2})^2}\) do kwadratu nie rowna sie 12 tylko 8