Liczby \(\displaystyle{ x _{1}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\) są różnymi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x ^{2} -2 \sqrt{2}x + p ^{2} + 1 = 0}\). Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) punkt \(\displaystyle{ (x _{1},x _{2})}\) należy do koła o środku \(\displaystyle{ S = (0,0)}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) ?
Nie wiem czy robię błąd w sposobie rozwiazania czy błąd rachunkowy.
Znajduję pierwiastki równania za pomocą delty, wychodzi mi \(\displaystyle{ x _{1} = \sqrt{2} - \sqrt{1-p ^{2} }}\) i \(\displaystyle{ x _{2} = \sqrt{2} + \sqrt{1-p ^{2} }}\).
Liczę odległość środka koła od punktu \(\displaystyle{ (x _{1} ,x _{2} )}\) i po podstawieniu do nierówności wychodzi mi że \(\displaystyle{ p ^{2} \ge 1}\), czyli wg odpowiedzi zły wynik.
prosze o sprawdzenie
Dla jakich wartości parametru punkt należy do koła
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Dla jakich wartości parametru punkt należy do koła
Z Twoich zapisków wnioskuję, że \(\displaystyle{ \Delta=1-p ^{2}}\) (ewentualnie przemnożona jeszcze przez jakiś stały współczynnik, który jest nieistotny w mojej wypowiedzi). Zauważ, że aby \(\displaystyle{ x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\) (\(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\)) istniało, to musi być: \(\displaystyle{ \Delta>0}\).
Widzę, że liczenie nierówności Ci dosyć sprawnie poszło, ale podpowiem, że można było wykorzystać wzory Viete'a.
Pozdrawiam.
Widzę, że liczenie nierówności Ci dosyć sprawnie poszło, ale podpowiem, że można było wykorzystać wzory Viete'a.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
Dla jakich wartości parametru punkt należy do koła
1.
\(\displaystyle{ \Delta=12-4p^2-4=8-4p^2\\8-4p^2>0\\4p^2<8\\p^2<2\\p \in (-\sqrt{2};\ \sqrt{2})}\)
Punkt \(\displaystyle{ (x_1;\ x_2)}\) należy do tego koła, jeśli:
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2 \le 5}\)
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}\)
Ze wzorów Vieta:
\(\displaystyle{ (\frac{2\sqrt{2}}{1})^2-2\cdot\frac{p^2+1}{1} \le 5\\8-2p^2-2 \le 5\\6-2p^2 \le 5\\2p^2 \ge 1\\p^2 \ge \frac{1}{2}\\p \in (-\infty;\ -\frac{\sqrt{2}}{2})\ \cup \ (\frac{\sqrt{2}}{2};\ \infty)}\)
Oba warunki mają być spełnione, więc:
\(\displaystyle{ p \in (-\sqrt{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2})\ \cup \ (\frac{\sqrt{2}}{2};\ \sqrt{2})}\)
\(\displaystyle{ \Delta=12-4p^2-4=8-4p^2\\8-4p^2>0\\4p^2<8\\p^2<2\\p \in (-\sqrt{2};\ \sqrt{2})}\)
Punkt \(\displaystyle{ (x_1;\ x_2)}\) należy do tego koła, jeśli:
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2 \le 5}\)
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}\)
Ze wzorów Vieta:
\(\displaystyle{ (\frac{2\sqrt{2}}{1})^2-2\cdot\frac{p^2+1}{1} \le 5\\8-2p^2-2 \le 5\\6-2p^2 \le 5\\2p^2 \ge 1\\p^2 \ge \frac{1}{2}\\p \in (-\infty;\ -\frac{\sqrt{2}}{2})\ \cup \ (\frac{\sqrt{2}}{2};\ \infty)}\)
Oba warunki mają być spełnione, więc:
\(\displaystyle{ p \in (-\sqrt{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2})\ \cup \ (\frac{\sqrt{2}}{2};\ \sqrt{2})}\)
- Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Dla jakich wartości parametru punkt należy do koła
irena_1 czemu piszesz pełne rozwiązania? moim zdaniem wskazówki są lepsze, naprowadzają i skłaniają do samodzielnego myślenia
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 9 mar 2011, o 18:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
Dla jakich wartości parametru punkt należy do koła
to zadanie jest blednie zrobione, tzn w jednym miejscu przy delcie bo \(\displaystyle{ (2\sqrt{2})^2}\) do kwadratu nie rowna sie 12 tylko 8
Ostatnio zmieniony 9 mar 2011, o 20:04 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Poprawa wiadomości.Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .