równanie prostej i okręgu

[gibek44]

Witam!
Mam problem ponieważ nie jestem pewny jak się zabrać do tego zadania a muszę go zrobić dosyć szybko i dobrze przede wszystkim.

Określ wzajemne położenie prostej l i okręgu o jeśli

\(\displaystyle{ o: (x-1)^{2} + (y+4)^{2} = 16 \\
l : y= 0,75x + 3}\)

[Mersenne]

Podpowiedź:

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+4)^{2}=4^{2}}\)- jest to równanie okręgu o środku \(\displaystyle{ S=(1;-4)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=4}\)

[gibek44]

a może mógłbym otrzymać jakieś głębsze wskazówki lub to od czego mam zacząć?

[Mersenne]

Narysuj sobie okrąg o podanym środku i promieniu oraz prostą w układzie współrzędnych i na pewno zobaczysz o co chodzi.

[gibek44]

ok narysowałem okrąg ale nie wiem jak narysować prostą tzn jak wyznaczyć jej punkty?

[Crizz]

Mersenne, tych, co cokolwiek w geometrii analitycznej rysują, powinno się bić po łapach

A tak na poważnie to gibek44, znasz wzór na odległość punktu od prostej? Jeśli tak, to znajdź odległość środka okręgu od podanej prostej i porównaj z promieniem okręgu. Potem zastanów się, co wynika z takiego porównania.

Jeśli nie, to daj znać.

[Mersenne]

Do narysowania prostej potrzebne są Ci dwa punkty, np. weź \(\displaystyle{ x=-4}\), wtedy druga współrzędna to \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\cdot (-4)+3=0}\). Zaznaczasz punkt \(\displaystyle{ (-4;0)}\). Wyznacz drugi punkt i narysuj prostą.

[gibek44]

A mogę dostać ten wzór na odległość punktu od prostej? Myślę że ten sposób będzie mi bliższy

[Mersenne]

\(\displaystyle{ d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}\), gdzie \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) to równanie prostej, zaś współrzędne punktu \(\displaystyle{ P=(x_{0};y_{0})}\)

[gibek44]

Sorki ale już się pogubiłem. Mogłabyś napisać mi to zadanie krok po kroku bo nic nie kapuje jakoś a jak zobaczę jak się to robi to wtedy będę mógł robić dalsze przykłady sam

[Crizz]

Równanie \(\displaystyle{ y= 0,75x + 3}\) przekształcasz do postaci \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\):

\(\displaystyle{ 0,75x-y+3=0}\)

(tutaj \(\displaystyle{ A=0,75,B=-1,C=3}\))

Twój punkt \(\displaystyle{ P}\) to \(\displaystyle{ (1,-4)}\),zatem:

\(\displaystyle{ d=\frac{|0,75 \cdot 1-1\cdot (-4)+3|}{\sqrt{0,75^{2}+(-1)^{2}}}}\)

Wyliczasz \(\displaystyle{ d}\) (nie wydaje mi się, żeby było równe zeru, ale sprawdź, czy nie ma błędu w obliczeniach).

[gibek44]

Nie no oczywiście że się nie równa zeru w ogóle źle to zrobiłem wielkie dzięki za pomoc:)

[xanowron]

Ewentualnie można w takich sytuacjach podstawić do równania okręgu \(\displaystyle{ y= 0,75x + 3}\) i otrzymasz równanie kwadratowe. Liczba jego rozwiązań to liczba punktów przecięcia się okręgu z prostą.