Wektor o długości |DB| prostopadły do wektora AD i Płaszczyz

[Adbisky]

Witam potrzebuję nowej koncepcji na obliczenie współrzędnych \(\displaystyle{ (xB, yB, zB)}\) punktu \(\displaystyle{ B}\) w moim zadaniu.

ZDEFINIOWANIE PROBLEMU
Dane:
Punkt \(\displaystyle{ A(xA, yA, zA)}\)
Punkt \(\displaystyle{ C(xC, yC, zC)}\)
Punkt \(\displaystyle{ D(xD, yD, zD)}\)
Długość wektora \(\displaystyle{ |DB|=h}\)

Założenia:

1. Punkty \(\displaystyle{ A(xA, yA, zA)}\), \(\displaystyle{ C(xC, yC, zC)}\) oraz \(\displaystyle{ D(xD, yD, zD)}\) leżą na 1 prostej [ale to zapewniają już dane wejściowe]
2. Punkt \(\displaystyle{ D(xD, yD, zD)}\) leży między punktem \(\displaystyle{ A(xA, yA, zA)}\) oraz punktem \(\displaystyle{ C(xC, yC, zC)}\) [to też zapewniają dane wejściowe]
3. Punkt \(\displaystyle{ B(xB, yB, zB)}\) musi należeć do płaszczyzny pionowej (równoległej do osi Z) przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A(xA, yA, zA)}\) oraz \(\displaystyle{ C(xC, yC, zC)}\) (a w konsekwencji p.1 i p.2 także przez \(\displaystyle{ D(xD, yD, zD)}\))
4. Wektory \(\displaystyle{ \vec{AD}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{DB}}\) muszą być prostopadłe

Rysunek 1 do zadania (dodatkowo załącznik 1):


Rysunek 2 do zadania (dodatkowo załącznik 2):


KONCEPCJA ROZWIĄZANIA

Rysunek do koncepcji rozwiązania zadania (dodatkowo załącznik 3):


Moja (błędna) koncepcja rozwiązania polega na zapisaniu układu 3 równań z 3 niewiadomymi xB, yB, zB.

1. równanie:
Aby spełnić warunek 3:
1.a Wprowadzam dodatkowy punkt \(\displaystyle{ P(xP, yP, zP)}\) leżący na osi Z gdzie \(\displaystyle{ xP=xA}\), \(\displaystyle{ yP=yA}\), \(\displaystyle{ zP=zC}\) \(\displaystyle{ => P(xA, yA, zC )}\)
1.b Zapisuję równanie płaszczyzny PI zawierającej punkty \(\displaystyle{ A C}\) i \(\displaystyle{ P}\)
1.c Z równania płaszczyzny odczytuję współrzędne wektora \(\displaystyle{ Z[Zx, Zy, Zz]}\) prostopadłego do tej płaszczyzny (Jeżeli dany wektor należeć ma do
płaszczyzny do musi być prostopadły do wektora ją opisującego)
1.d Zapisuję równanie warunku prostopadłości dwóch wektorów \(\displaystyle{ \vec{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{DB}}\) jako iloczynu skalarnego którego wartość równa jest zeru:
\(\displaystyle{ \vec{Z} \cdot \vec{DB}=0}\)

2. równanie
Aby spełnić warunek 4:
Zapisuję równanie warunku prostopadłości dwóch wektorów AD oraz DB jako iloczynu skalarnego którego wartość równa jest zeru:
\(\displaystyle{ \vec{AD} \cdot \vec{DB}=0}\)

3. Na podstawie zadanej w "Danych" długości wektora |DB|=h zapisuję równanie (na podstawie normy euklidesowej wynikającej z tw.

Pitagorasa dla 3 wektorów):
\(\displaystyle{ h^{2}=(xB-xD)^{2}+(yB-yD)^{2}+(zB-zD)^{2}}\)

4. Rozwiązuje układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \vec{Z} \cdot \vec{DB}=0\\\vec{AD} \cdot \vec{DB}=0\\h^{2}=(xB-xD)^{2}+(yB-yD)^{2}+(zB-zD)^{2} \end{array}}\)

5. Napisałem program w MATLAB-ie i niestety punkt \(\displaystyle{ B(xB, yB, zB)}\) oblicza się niepoprawnie

Zatem spodziewam się że popełniłem błąd na samym początku z zapisem tychże głównych równań (mniej prawdopodobne jest że popełniłem błąd rachunkowy).
Dlatego zwracam się z prośbą do osób, które orientują się w zagadnieniach wektorów, prostych i płaszczyzn o pochylenie sie nad tym problemem i zweryfikowanie mojego pomysłu.
Z góry bardzo dziękuje za wszelakie uwagi

[gott314]

Co oznacza zapis \(\displaystyle{ \vec{Z}}\)? Czy to jest wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych i posiadający koniec w punkcie \(\displaystyle{ Z}\)?

Masz znaleź współrzędne punktu \(\displaystyle{ B}\), który musi należeć do płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ D}\) (te punkty są współliniowe). Na dodatek \(\displaystyle{ |\vec{DB}|=h}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{DA}\cdot\vec{DB}=0}\). Ja proponuję zatem inny układ równań, mianowicie

\(\displaystyle{ \left \{ \begin{array}{1} \vec{DA}\cdot\vec{DB}=0\\ |\vec{DB}|=h\\ (\vec{DA},\vec{DB},\vec{DP})=0 \end{array}}\),

gdzie \(\displaystyle{ (\vec{DA},\vec{DB},\vec{DP})}\) to iloczyn mieszany.

[Adbisky]

Witaj gott314
Dzięki bardzo za zainteresowanie

1. Punkty \(\displaystyle{ A,C,D}\) są współliniowe dlatego wprowadzam punkt P (punkt 1.a) po to aby:
2. zapisać równanie płaszczyzny pionowej \(\displaystyle{ PI}\) przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A, C, P}\) (punkt 1.b) (właściwie nie zapisuje pełnego równania \(\displaystyle{ Kx+Ly+Mz+N=0}\) tylko dochodzę do samego wektora \(\displaystyle{ \vec{Z}=[K,L,M]}\) który jest prostopadły do pionowej płaszczyzny \(\displaystyle{ PI}\))
3. A wykonuję to poprzez mnożenie wektorowe wektorów \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) i \(\displaystyle{ \vec{AP}}\) w efekcie czego uzyskuję właśnie wektor \(\displaystyle{ \vec{Z}}\) => \(\displaystyle{ \vec{Z}=\vec{AC} \times \vec{AP}}\)
(Na rysunku 3 wektor \(\displaystyle{ \vec{Z}}\) oznaczony jest strzałką której grot zwrócony jest w stronę czytelnika)
4. Punkt zaczepienia wektora \(\displaystyle{ \vec{Z}}\) nie jest istotny

Byłbym wdzięczny jeżeli jeszcze raz zechciałbyś zweryfikować moje rozwiązanie, po tym uzupełnieniu treści.
Wypróbuję Twoją wersję, ale chyba nie będę mógł zrobić tego dzisiaj ze względu na brak czasu,
Gdy to już zrobię to napiszę wiadomość

Jeszcze raz dzięki za zainteresowanie i podpowiedź
Pozdrawiam

[gott314]

Ok. Rozumiem.
Twój sposób jest dobry. Można to łatwo sprawdzić - sprawdzenie dla konkretnych przypadków (ja wziołem \(\displaystyle{ A(0,0,0)}\), \(\displaystyle{ C(8,8,8)}\), \(\displaystyle{ D(3,3,3)}\), \(\displaystyle{ |\vec{DB}|=3}\)). Moja i Twoja metoda dała te same wyniki. Nie wiem dlaczego program wypluwa Ci niepoprawne rozwiązanie...

[Adbisky]

Też sprawdzałem to wczoraj na wartościach liczbowych i było ok, więc chyba jest to błąd rachunkowy.
A wiadomość o tym jest mi bardzo pomocna, bo to znaczy że poprostu muszę to staranniej poprzeliczać.

W matlabie punkt B wyznacza mi się w płaszczyźnie innej niż pionowa.
Do tematu będę mógł wrócić dopiero w piątek bo mam dużo iinej pracy.
Jak uda mi się to dokończyć i będę miał na to czas to napisze tu samo-odpowiedź; jeżeli jeszcze będziesz tym zainteresowany to możesz zerknąć.

Dzięki zatem za poświęcenie swojego czasu.

Pozdrawiam