objętość bryly bedacej czescia wspolna kul

[sci-fi]

Jak w temacie. Równania kul:

\(\displaystyle{ x ^{2}+ y^{2}+ \left(z-2 \right)^{2} \le 4}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+ y^{2}+ \left(z-1 \right)^{2} \le 4}\)

[pajong8888]

Rozpatrzmy dwie sfery \(\displaystyle{ x^2+y^2+(z-2)^2=4}\) i \(\displaystyle{ x^2+y^2+(z-1)^2=4}\) Przecinają sie one dla \(\displaystyle{ z=\frac{3}{2}}\) Wyobraźmy sobie część wspólną kul danych w zadaniu- będzie ona w kształcie cytryny lub piłki do rugby. Teraz sobie wyobraźmy, że dzielimy tą część wspólną na kawałki w kształcie koła krojąc ją względem osi z, podobnie jak się udowadnia geometrycznie całkę, dzieląc obszar na kawałki o szerokości nieskończenie małej. Widzimy, że te kawałki tej piłki to koła, a największy promień takiego koła to \(\displaystyle{ \sqrt{4-(\frac{3}{2}-1)^2}=\frac{\sqrt{15}}{2}}\) Biorąc rzut tej "piłki" na płaszczyznę OXY otrzymamy koło \(\displaystyle{ x^2+y^2\leq \frac{15}{4}}\) Mamy więc obszar, po którym będziemy całkować. Dodatkowo można skorzystać ze współrzędnych biegunowych, ale to dopiero za chwilę. Objętość tej części wspólnej będzie miała postać całki:

\(\displaystyle{ \int_{-\frac{\sqrt{15}}{2}}^{\frac{\sqrt{15}}{2}} \int_{-\sqrt{\frac{15}{4}-x^2}}^{\sqrt{\frac{15}{4}-x^2}} (\sqrt{4-x^2-y^2}+1+\sqrt{4-x^2-y^2}-2)dy dx}\)

Przy okazji tam jest plus ponieważ odejmowałem od dolnej części wyższej sfery, a dolna część ma równanie \(\displaystyle{ z=-\sqrt{4-x^2-y^2}+2}\)

Możesz także obliczyć tą całkę za pomocą współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ x=r\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin\alpha}\)

I wtedy musisz obliczyć zaledwie prostą całeczkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\sqrt{15}}{2}}(2\sqrt{4-r^2}-1)r dr d\alpha}\)