Matematyka.pl

Jak przekształcić poniższe równanie by móc narysować wykres?

\(\displaystyle{ \left(x^{2}+y^{2} \right)^{2} = 4 \left(x^{2}-y^{2} \right)}\)

W wyniku na pewno jest coś na kształt symbolu nieskończoności (\(\displaystyle{ \infty}\))

głowy nie dam, ale może w tą stronę: \(\displaystyle{ x^4 + y^4 +2(xy)^2 - 4x^2 + 4y^2 =0}\)
\(\displaystyle{ y^4 +y^2(2x^2+4) - 4x^2 + x^4 =0}\)
później podstawienie \(\displaystyle{ t=y^2, t\geqslant0}\) i rozpatrujemy funkcję kwadratową dla \(\displaystyle{ y}\)

Szukana krzywa to lemniskata Benoulliego.
Łatwiej będzie chyba sparametryzować tą krzywą, kładąc \(\displaystyle{ y=tx}\) dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\). Wtedy wystaczy narysować zbiór punktów postaci \(\displaystyle{ (x(t),y(t))}\) dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\)

Żeby znaleźć współrzędne punktów w których ta lemniskata (\(\displaystyle{ a= \sqrt{2}}\)) ma "brzegi" to wystarczy do równania podstawić raz \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ x= \sqrt{2}}\)??? Jak dam \(\displaystyle{ y=0}\) to na pewno znajdę te "brzegi" z lewej strony i prawej ale co do tego \(\displaystyle{ x= \sqrt{2}}\) to nie jestem pewny czy aby na pewno na tej wysokości będą "brzegi" górne i dolne.

Czy może da się jakoś z ekstremum policzyć?

Gdy wyznaczysz \(\displaystyle{ y(t)}\), to możesz zbadać jej pochodną i określić jej ekstrema, ale rachunki nie wyglądają zbyt zachęcająco( i nie jestem pewny czy ten "brzeg" to \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}}\) )