Iloczyn skalarny-pole trójkąta

[adaxada]

Oblicz iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{AC}}\), a następnie oblicz pole trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(1,0,3), B=(2,-5,5), C=(5,-5,6)}\).
\(\displaystyle{ \vec{AB} = (1, -5, 2)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC} = (4, -5, 3)}\)
\(\displaystyle{ \vec{BC} = (3, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}\circ\vec{AC} = 4\cdot 1+(-5)\cdot(-5)+2\cdot 3 = 35}\)
\(\displaystyle{ |AB| = \sqrt{30}}\)
\(\displaystyle{ |AC| = \sqrt{50}}\)
\(\displaystyle{ |BC| = \sqrt{10}}\)
pole można obliczyć ze wzoru Herona
\(\displaystyle{ P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), gdzie \(\displaystyle{ p =\frac{a+b+c}{2}}\)
Tak ?

[lukasz1804]

Iloczyn skalarny wyznaczyłaś poprawnie.

Jeśli chcesz potrenować sprawność rachunkową przy obliczaniu pola trójkąta, możesz zastosować wzór Herona, który przytoczyłaś. Jednak uważam, że warto skorzystać z wyznaczonego iloczynu skalarnego wektorów. Z definicji iloczynu skalarnego wiemy, że \(\displaystyle{ \vec{AB}\circ\vec{AC}}\) jest iloczynem długości wektorów \(\displaystyle{ \vec{AB}, \vec{AC}}\) i kosinusa kąta zawartego między nimi.
Na podstawie tego można wyznaczyć wartość kosinusa tego kąta, a później pamiętając o tym, że kąt ten jest kątem w trójkącie, wyznaczyć wartość sinusa tego kąta (z jedynki trygonometrycznej - będzie wartość nieujemna).
Wreszcie można skorzystać z faktu, że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch dowolnych jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami.

Rozumując tym sposobem unikniesz przykrych rachunków.
ozdrawiam