Odległość pomiędzy dwoma płaszczyznami

[seizer]

Mam problem z zadaniem o następującej treści:
Obliczyć odległość pomiędzy płaszczyznami
\(\displaystyle{ \pi _{1} : Ax + y - 2z + C = 0}\)
\(\displaystyle{ \pi _{2} : 2x + 2y + Cz + A = 0}\)
wiedząc, że odległość między nimi jest różna od 0.

Oczywiste jest, że są do siebie równoległe.

Mam rozwiązanie kolegi, które opiera się na uzależnienieniu A od C poprzez założenie, że wektory normalne są do siebie prostopadłe, czyli ich iloczyn skalarny jest równy 0. Według mnie jest to błędne założenie bo gdyby te wektory były do siebie prostopadłe to płaszczyzny by się przecinały.

[Crizz]

Oczywiście, że to błędne założenie. Te wektory powinny być właśnie równoległe, czyli musi istnieć taka niezerowa liczba rzeczywista k, że \(\displaystyle{ [A,1,-2]=k[2,2,C]}\), czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A=2k \\ 1=2k \\ -2=Ck \end{cases}}\)

Stąd \(\displaystyle{ A=1,C=-4}\), czyli równania rozważanych prostych przybierają postać:
\(\displaystyle{ x+y-2z-4=0}\)
\(\displaystyle{ 2x+2y-4z+1=0}\)

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru na odległośc punktu od płaszczyzny:
odległość \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) wynosi
\(\displaystyle{ \frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\).

Znajdujemy dowolny punkt pierwszej płaszczyzny (np. \(\displaystyle{ (0,0,-2)}\)) i liczymy jego odległość od drugiej płaszczyzny: \(\displaystyle{ d=\frac{|2 \cdot 0+2 \cdot 0-4 \cdot (-2)+1|}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+4^{2}}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}}\).

[seizer]

Crizz, dzięki wielkie \(\displaystyle{ [A,1,-2]=k[2,2,C]}\) właśnie tej zależności mi brakowało.
Pozdrawiam.