Prosta prostopadła do płaszczyzny

[asiu_nia111]

mam jutro kolosa z maty, i problem z zadaniem, byłoby miło gdyby ktoś udzielił pomocy

Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do płaszczyzny na której leżą punkty: \(\displaystyle{ A(1,1,1)}\) \(\displaystyle{ B(0,0,1)}\) \(\displaystyle{ C(2,2,0)}\)

[lukasz1804]

Ponieważ na to, by prosta była prostopadła do płaszczyzny potrzeba i wystarcza, by była ona prostopadła do dwóch prostych zawartych w płaszczyźnie i przechodzących przez ustalony punkt tej płaszczyzny, należy wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do prostych AB i AC.

Do znalezienia równania szukanej prostej potrzebujemy znaleźć tylko jeden punkt \(\displaystyle{ D(x,y,z)\ne A}\), przez który ona przechodzi. (A w zasadzie wystarczy nam tylko zależność między współrzędnymi tego punktu, z dowolności jego wyboru.)
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ |AD|^2+|AB|^2=|BD|^2}\) oraz \(\displaystyle{ |AD|^2+|AC|^2=|CD|^2}\). Zatem ze wzoru na odległość dwóch punktów w przestrzeni jest \(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+2=x^2+y^2+(z-1)^2 \\ (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+3=(x-2)^2+(y-2)^2+z^2 \end{cases}}\).
Stąd dostajemy równoważnie
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2+2=x^2+y^2 \\ x^2+y^2+(z-1)^2+1=(x-2)^2+(y-2)^2+z^2 \end{cases}}\),
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x-2y+4=0 \\ -2z+2=-4x-4y+8 \end{cases}}\),
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=2 \\ -2z+2=0 \end{cases}}\),
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2-x \\ z=1 \end{cases}}\).
Zatem szukana prosta ma równanie postaci \(\displaystyle{ (t,2-t,1)}\) dla \(\displaystyle{ (t\in\mathbb{R}}\).

Jest to sposób elementarny, ale myślę, że czytelny i łatwy do zrozumienia, choć wymaga za to sprawności rachunkowej.

[pawels]

Zamiast rozwiązywać układ równać wystarczy chyba wziąć iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ v=\vec{AB}\times\vec{AC}}\) i powiedzieć, że ta prosto to \(\displaystyle{ A+t\cdot v.}\)

[asiu_nia111]

dzięki bardzo:) przyda się to rozwiązanie na następny termin:]