Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Miroslav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 9 paź 2009, o 15:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: RZ
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 2 razy

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: Miroslav »

Wykazać, że prosta \(\displaystyle{ \frac{x-1}{-2} = \frac{y}{-3} = \frac{z-2}{2}}\)

jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ -5x + 4y + z - 3 = 0}\)

Co trzeba tutaj po kolei robić ?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: BettyBoo »

Prosta jest równoległa do płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor kierunkowy prostej i wektor normalny płaszczyzny są prostopadłe.

Pozdrawiam.
Alvison
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 cze 2010, o 13:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: Alvison »

Czyli po kolei będzie wyglądało to tak..?
najpierw liczymy skalarnie r1 i r2 aby otrzymać wektor n
Następnie skoro n ma być prostopadły do n to znaczy że iloczyn skalarny jest równy 0.
Tyle że jak sie to przemnoży to nie wyjdzie 0...
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: BettyBoo »

Czyli wygląda to tak, że bierzemy wektor kierunkowy prostej i wektor normalny płaszczyzny i liczymy ich iloczyn skalarny. Jeśli jest równy zero to masz równoległość.

Pozdrawiam.
Alvison
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 cze 2010, o 13:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: Alvison »

No dobrze, faktycznie wychodzi 0
Myślałam że to bardziej skomplikowana sprawa.
A gdybyśmy dodatkowo chcieli uzyskać odległość wektora od płaszczyzny co zgodnie z definicją oznacza odległość dowolnego punku prostej od płaszczyzny, to czy wówczas biorąc pod uwagę podany przykład ta długość będzie wynosiła \(\displaystyle{ \frac{ \left|3 \right| }{ \sqrt{42} }}\)
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: BettyBoo »

Alvison pisze:A gdybyśmy dodatkowo chcieli uzyskać odległość wektora od płaszczyzny
Nie rozumiem o co tutaj pytasz - nie ma czegoś takiego jak odległość wektora od czegokolwiek. Zadaj pytanie trochę bardziej precyzyjnie - co chcesz obliczyć?

Pozdrawiam.
Alvison
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 cze 2010, o 13:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: Alvison »

Przepraszam, źle to ujęłam faktycznie odległość prostej od płaszczyzny
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: BettyBoo »

Jeśli wiesz, że prosta i płaszczyzna są równoległe, to jest jak piszesz - wystarczy wziąć dowolny punkt prostej i znaleźć jego odległość od płaszczyzny. Tutaj to będzie \(\displaystyle{ \frac{ 6 }{ \sqrt{42} }}\).

Pozdrawiam.
Alvison
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 cze 2010, o 13:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: Alvison »

No dobrze, tylko nie rozumiem, dlaczego 6 a nie 3?
Punkt wybrałam sobie z równania prostej i wygląda on następująco (1,0,2).

Licząc odległość mam \(\displaystyle{ \frac{ \left|-5 \cdot 1+4 \cdot 0+1 \cdot 2 \right| }{ \sqrt{25+16+1} }= \frac{ \left|-3 \right| }{ \sqrt{42} } = \frac{3}{ \sqrt{42} }}\)


Edit: Już wiem, zjadłam -3 z równania płaszczyzny
\(\displaystyle{ \frac{ \left|-5 \cdot 1+4 \cdot 0+1 \cdot 2 -3 \right| }{ \sqrt{25+16+1} }= \frac{ \left|-6 \right| }{ \sqrt{42} } = \frac{6}{ \sqrt{42} }}\)
Ostatnio zmieniony 27 cze 2010, o 14:47 przez Alvison, łącznie zmieniany 1 raz.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: BettyBoo »

Zjadłaś \(\displaystyle{ -3}\) w równaniu płaszczyzny.

Pozdrawiam.
Alvison
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 cze 2010, o 13:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice

Wykazać równoległość prostej do płaszczyzny

Post autor: Alvison »

Super, jestem Ci ogromnie wdzięczna.
ODPOWIEDZ