Płaszczyzna prostopadał do prostej

astarot20 · Post autor: **astarot20** » 23 cze 2010, o 21:35

Witam

Mam problem z zadaniem

napisać równanie płaszczyzny pi przechodzącej przez punkt M(-2;0;1) i prostopadłaej do prostej
k:\(\displaystyle{ \frac{x-1}{-1}}\) =\(\displaystyle{ \frac{y+2}{2}}\)= \(\displaystyle{ \frac{z}{1}}\) znależć punkty wspólne prostej k i płaszczyzny pi

Próbowałem to obliczyc i wiem jak obliczyc prostą prostopadłą do płaszczyzny ale niemoge dojśc jak zrobic żeby ta płaszczyzna przechodziła przez dany punkt

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 23 cze 2010, o 21:37

Zwyczajnie podstaw współrzędne punktu do równania płaszczyzny.

astarot20 · Post autor: **astarot20** » 23 cze 2010, o 21:42

równanie plaszczyzny prostopadłej wyszło mi takie \(\displaystyle{ \pi}\) : x+2y+z-3=0

wiec teraz wystarczy że zamiast do równania płaszczyzny podstawiać punkty \(\displaystyle{ _{P}0}\) =(1;2;0) który wynika z równania prostej
podstawie punkt M?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 23 cze 2010, o 21:43

Oj coś czuję, że niezbyt dobrze wyznaczyłeś to równanie płaszczyzny zamieść obliczenia to porozmawiamy.

astarot20 · Post autor: **astarot20** » 23 cze 2010, o 21:48

no więc prosta k
k:\(\displaystyle{ \frac{x-1}{-1}}\) =\(\displaystyle{ \frac{y+2}{2}}\)= \(\displaystyle{ \frac{z}{1}}\)
z niej wyznaczam wekrot u=[-1;2;1] - czyli (a;b;c) w równaniu ogólnym
i punkt \(\displaystyle{ _{P}0}\) = (1;2;0) - (x;y;z) w równaniu ogólnym

podstawiam do równania ogólnego

ax+by+cz+d=0

i wyliczam d

zgodnei ze wzorem pisze równanie które jest równe

\(\displaystyle{ \pi}\) : x+2y+z-3=0

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 23 cze 2010, o 21:51

To, że prosta przechodzi przez pewien punkt, to nie znaczy że płaszczyzna do niej prostopadła przez niego przechodzi, nieprawdaż ?
Zamiast punktu K należy użyć punktu M, bo o nim mamy pewną informację, że należy do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\). Spróbuj teraz

astarot20 · Post autor: **astarot20** » 23 cze 2010, o 21:58

no więc teraz wyszło mi tak

d=1

(wektor u zostaje taki sam)

wiec płaSzcyzna bedzie
\(\displaystyle{ \pi}\):-x+2y+z-1=0
??

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 23 cze 2010, o 22:03

Wedle moich obliczeń również tak wychodzi, więc istnieje wysokie prawdopodobieństwo że jest to poprawny wynik

astarot20 · Post autor: **astarot20** » 23 cze 2010, o 22:05

wielkie dzieki a jeszcze jak znależć punkt wspólny płaszczyzny io tej prostej??

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 23 cze 2010, o 22:12

Przejdź na postać parametryczną równania prostej, następnie podstaw do równania płaszczyzny i oblicz t, dla którego jest spełnione to równanie. Następnie wróć do równania prostej i podstaw wyliczone t, otrzymasz wówczas współrzędne tego punktu.

astarot20 · Post autor: **astarot20** » 23 cze 2010, o 22:43

x = xo+ta
y=yo+tb
z=zo+tc

po(1;2;0)
u=[-1;2;1]

x= 1-t
y=2+2t
z=1

\(\displaystyle{ \pi}\):-x+2y+z-1=0
więc:
(1-t)+2(2+2t)+1-1=0
1-t+4+4t=0
3t=-5/:3
t=-5/3
t=-1 \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

x=2\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
y=-1\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
z=1

tak to ma byc ???

ps: mogłem pomylic sie w obliczeniach ale wystarczy że napiszesz czy to tak mam policzyc czy inaczej

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 23 cze 2010, o 22:57

Tak, w ten sposób należy wyliczać tego typu zadania.