Witam!
Mam do rozwiązania pewien test wielokrotnego wyboru i mam problem z kilkoma zadaniami.
Jeśli to możliwe to proszę o pomoc.
5. Styczne do okręgu \(\displaystyle{ (x+1) ^{2} + (y-3) ^{2}=10}\) prostopadłe do prostej \(\displaystyle{ y=-3x}\) mają równania:
a) \(\displaystyle{ x-3y+20=0}\) oraz \(\displaystyle{ x-3y=0}\)
b) \(\displaystyle{ 3x+y+10=0}\) oraz \(\displaystyle{ 3x+y-10=0}\)
c) \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x + \frac{20}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3} x}\)
6. Dane są wektory \(\displaystyle{ \vec{a}= [2k,k-3], \vec{b}= [k,1]}\). Wówczas:
a) wektory \(\displaystyle{ \vec{a} i \vec{b}}\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy k = 1
b) istnieją tylko dwie wartości k, dla których wektory \(\displaystyle{ \vec{a} i \vec{b}}\) są prostopadłe
c) dla k = 3 cosinus kąta między tymi wektorami jest równy \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{10} }{10}}\)
Z góry dzięki za pomoc.
-- 20 cze 2010, o 11:35 --
Nikt nie potrafi mi pomóc ?
kilka zadań
-
bulinek100
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 5 mar 2009, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 15 razy
kilka zadań
Ostatnio zmieniony 20 cze 2010, o 15:49 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Część postu usunięta ze względu na brak powiązania z działem, w którym post został umieszczony.
Powód: Część postu usunięta ze względu na brak powiązania z działem, w którym post został umieszczony.
-
piotrek_8891
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 9 cze 2010, o 15:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
kilka zadań
zadanie 5
trzeba wyznaczyć taką prostą, która będzie miała równanie \(\displaystyle{ y=\frac{1}{3}x+b}\) b trzeba wyznaczyć tak, żeby prosta była odległa od środka zadanego okręgu \(\displaystyle{ S=(-1;3)}\) o długość promienia czyli \(\displaystyle{ r=\sqrt{10}}\) Trzeba rozwiązać równanie postaci
*\(\displaystyle{ \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r}\)
gdzie A, B, C wzięto z postaci ogólnej prostej która ma być styczna, czyli z równania \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}x+y+C=0}\) Podstawiamy do równania * i mamy
\(\displaystyle{ \frac{|-\frac{1}{3}\cdot (-1)+1\cdot 3+C|}{\sqrt{\frac{1}{9}+1}}=\sqrt{10}}\)
po rozwiązaniu powyższego równania dostaniesz \(\displaystyle{ C=0}\) lub \(\displaystyle{ C=-6\frac{2}{3}}\)
Czyli równania twoich prostych to
pierwsza \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}x+y=0}\)
druga \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}x+y-6\frac{2}{3}=0}\)
ODP c) i a) z możliwych (trzeba tylko przejść z postaci ogólnych prostych na kierunkowe)
zadanie 6
Najpierw kiedy wektory są prostopadłe, ich iloczyn skalarny musi być równy 0, czyli musi zajść równość
\(\displaystyle{ 2k\cdot k+(k-3)\cdot 1=0}\) czyli trzeba rozwiązać równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ 2k^2+k-3=0}\)
dostaniesz dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ k=-\frac{3}{2}}\) albo \(\displaystyle{ k=1}\)
czyli na pewno odpowiedź b)
teraz co będzie jeśli k=3 wtedy cosinus kąta między wektorami wyraża się liczbą
\(\displaystyle{ \frac{6\cdot 3+0\cdot 1}{\sqrt{(6^2+0^2)\cdot (3^2+1^2)}}=\frac{18}{6\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\)
czyli c) też jest prawdziwa
a) jest nieprawdziwa, bo są dwie wartości k takie, że wektory są prostopadłe, a mówi, że jest dokładnie jedna taka wartość
trzeba wyznaczyć taką prostą, która będzie miała równanie \(\displaystyle{ y=\frac{1}{3}x+b}\) b trzeba wyznaczyć tak, żeby prosta była odległa od środka zadanego okręgu \(\displaystyle{ S=(-1;3)}\) o długość promienia czyli \(\displaystyle{ r=\sqrt{10}}\) Trzeba rozwiązać równanie postaci
*\(\displaystyle{ \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r}\)
gdzie A, B, C wzięto z postaci ogólnej prostej która ma być styczna, czyli z równania \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}x+y+C=0}\) Podstawiamy do równania * i mamy
\(\displaystyle{ \frac{|-\frac{1}{3}\cdot (-1)+1\cdot 3+C|}{\sqrt{\frac{1}{9}+1}}=\sqrt{10}}\)
po rozwiązaniu powyższego równania dostaniesz \(\displaystyle{ C=0}\) lub \(\displaystyle{ C=-6\frac{2}{3}}\)
Czyli równania twoich prostych to
pierwsza \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}x+y=0}\)
druga \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}x+y-6\frac{2}{3}=0}\)
ODP c) i a) z możliwych (trzeba tylko przejść z postaci ogólnych prostych na kierunkowe)
zadanie 6
Najpierw kiedy wektory są prostopadłe, ich iloczyn skalarny musi być równy 0, czyli musi zajść równość
\(\displaystyle{ 2k\cdot k+(k-3)\cdot 1=0}\) czyli trzeba rozwiązać równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ 2k^2+k-3=0}\)
dostaniesz dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ k=-\frac{3}{2}}\) albo \(\displaystyle{ k=1}\)
czyli na pewno odpowiedź b)
teraz co będzie jeśli k=3 wtedy cosinus kąta między wektorami wyraża się liczbą
\(\displaystyle{ \frac{6\cdot 3+0\cdot 1}{\sqrt{(6^2+0^2)\cdot (3^2+1^2)}}=\frac{18}{6\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\)
czyli c) też jest prawdziwa
a) jest nieprawdziwa, bo są dwie wartości k takie, że wektory są prostopadłe, a mówi, że jest dokładnie jedna taka wartość