równanie płaszczyzny

[dodoni.2]

Potrzebuję pilnie pomocy:
1.) Napisz równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ k: \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} =z}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ M=(1,-1,0)}\)

[kolorowe skarpetki]

Zadanie 1

Równanie kierunkowe prostej : \(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}}\) , gdzie \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) ustalony punkt prostej, a \(\displaystyle{ [a,b,c]\neq [0,0,0]}\) wektor równoległy do prostej.

Równanie ogólne płaszczyzny : \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), gdzie \(\displaystyle{ [A,B,C]\neq [0,0,0]}\) wektor prostopadły do płaszczyzny.

Niech \(\displaystyle{ [1,2,1]}\) - wektor równoległy do prostej, \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) - wektor prostopadły do płaszczyzny.

Aby płaszczyzna była prostopadła do prostej powyższe wektory muszą być równoległe, czyli z warunku na równoległość wektorów mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{A}=\frac{2}{B}=\frac{1}{C}}\)

\(\displaystyle{ B=2A \, , \, C=A}\)

\(\displaystyle{ A}\) - dowolne, a zatem przyjmijmy np. \(\displaystyle{ 3}\). Wektor prostopadły (jeden z wielu) do płaszczyzny : \(\displaystyle{ [3,6,3]}\)

Wiemy, że płaszczyzna przechodzi przez punkt M :

\(\displaystyle{ 3x+6y+3z+D=0}\)

\(\displaystyle{ 3\cdot 1+6 \cdot (-1) +3 \cdot 0+D=0}\)

\(\displaystyle{ D=3}\)

Ostatecznie : \(\displaystyle{ 3x+6y+3z+3=0}\)