Dany jest okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2x+8y-8=0}\)
a) Sprawdź, czy punkt A=(-2, 0) leży na danym okręgu
b) Napisz równanie stycznej do danego okręgu w punkcie A
Wskazówka: środek okręgu jest prostopadły do punktu leżącego na okręgu
Wzajemne położenie prostej i okręgu
-
luna129
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 30 kwie 2010, o 18:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 1 raz
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Ostatnio zmieniony 12 cze 2010, o 11:01 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów[latex] i [/latex]
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Wzajemne położenie prostej i okręgu
a) Mamy \(\displaystyle{ (-2)^{2}+0^{2}-2\cdot(-2)+8\cdot 0-8=0}\), więc punkt A leży na okręgu.
b) Aby wyznaczyć równanie stycznej do okręgu w punkcie A wykorzystując daną wskazówkę i twierdzenie Pitagorasa, znajdziemy zależność między współrzędnymi dowolnego punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) należącego do tej stycznej.
Środek okręgu znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (1,-4)}\), a jego promień ma długość 5. Zatem z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ 5^2+[(x+2)^2+y^2]=[(x-1)^2+(y+4)^2]}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ 4x+29=-2x+8y+17}\), tj. \(\displaystyle{ 6x-8y+12=0}\), czyli \(\displaystyle{ 3x-4y+6=0}\). Jest to równanie szukanej stycznej.
Warto też przeanalizować inne podejście, bardziej elementarne: znaleźć równanie prostej przechodzącej przez środek okręgu i punkt A (zawierającej promień okręgu), a następnie szukanej stycznej jako prostej do niej prostopadłej i przechodzącej przez punkt A.
b) Aby wyznaczyć równanie stycznej do okręgu w punkcie A wykorzystując daną wskazówkę i twierdzenie Pitagorasa, znajdziemy zależność między współrzędnymi dowolnego punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) należącego do tej stycznej.
Środek okręgu znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (1,-4)}\), a jego promień ma długość 5. Zatem z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ 5^2+[(x+2)^2+y^2]=[(x-1)^2+(y+4)^2]}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ 4x+29=-2x+8y+17}\), tj. \(\displaystyle{ 6x-8y+12=0}\), czyli \(\displaystyle{ 3x-4y+6=0}\). Jest to równanie szukanej stycznej.
Warto też przeanalizować inne podejście, bardziej elementarne: znaleźć równanie prostej przechodzącej przez środek okręgu i punkt A (zawierającej promień okręgu), a następnie szukanej stycznej jako prostej do niej prostopadłej i przechodzącej przez punkt A.