Hiperbola i styczna

[Bacior]

Udowodnić, że hiperbola w każdym swoim punkcie jest styczna do prostej, która przecina osie w punktach o podwojonej odciętej i rzędnej.

[pelas_91]

Udowodnić, że hiperbola w każdym swoim punkcie jest styczna do prostej, która przecina osie w punktach o podwojonej odciętej i rzędnej.

Oto hiperbola: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a}{x}}\)
Punkt styczności: \(\displaystyle{ A(x_A, \frac{a}{x_A})}\)
Dwa punkty o których mowa w zadaniu: \(\displaystyle{ B(0,\frac{2a}{x_A})}\) oraz \(\displaystyle{ C(2x_A,0)}\)

Wyznacz równanie prostej BC i wykaż że pkt A jest punktem styczności hiperboli do prostej BC.

[Bacior]

A jak wyznaczyć równanie prostej o danych przez Ciebie punktach?

[pelas_91]

A jak wyznaczyć równanie prostej o danych przez Ciebie punktach?

Dokładnie taką samą metodą jak np. szukasz równania prostej przechodzącej przez punkty A(1,2) B(9,10). Albo układem równań albo z brzydkiego wzoru.

[Bacior]

Ze wzoru wychodzi równanie paraboli. A z ukł.

\(\displaystyle{ x,a \neq 0 \\ \\
b= \frac{2a}{x} \wedge 2xa+b=0 \\ \\
2a(x+ \frac{1}{x})=0}\)

I nic z tym nie zrobie.

[pelas_91]

Jeżeli użyłeś wzór i wstawiałeś \(\displaystyle{ x}\) zamiast \(\displaystyle{ x_A}\) to nie dziwota że Ci się namieszało i mogła wyjść parabola. Różnica jest duża, \(\displaystyle{ x}\) traktujemy jako zmienną we wzorze funkcji, \(\displaystyle{ x_A}\) jest dla nas zwykłą liczbą, współrzędną punktu, którą wykorzystujemy do wyznaczenia równania.

Czy korzystałeś z wzory: \(\displaystyle{ y - y_A = \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}(x-x_A)}\)?
Jeżeli tak to pokaż proszę swoje obliczenia. Gdzieś się błąd znajdzie

[Bacior]

Tak korzystałem z tego wzoru, zamieniłem indeks A na liczbę a, dlatego wyszła mi parabola. A co z obliczeniami w moim poprzednim poście? Z ukł. też przecież powinno wyjść.

[pelas_91]

Żeby wskazać Ci gdzie robisz błąd muszę zobaczyć wszystkie obliczenia a nie sam efekt końcowy. Nie może wyjść parabola.

-- 11 czerwca 2010, 20:00 --

Tak sobie jeszcze myślę, że może Tobie dalej myli się \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ x_A}\). Spróbuj ponownie z prostszymi oznaczeniami:

Punkt styczności: \(\displaystyle{ A(k, \frac{a}{k})}\)
Dwa punkty o których mowa w zadaniu: \(\displaystyle{ B(0,\frac{2a}{k})}\) oraz \(\displaystyle{ C(2k,0)}\)

Wyznacz równanie prostej BC i pokaż że jest ona styczną do funkcji w punkcie A.

We wzorach na współczynniki nie możesz mieć \(\displaystyle{ x}\). Bo te współczynniki są liczbami a nie funkcjami.

[Bacior]

Masz całkowitą racje
Teraz już wszystko pasuje. Dziękuje.