pochodne uwikłane, liczby zespolone

[dodoni.2]

Znowu zwracam się z prośbą o pomoc, tym razem mam takie oto zadania:
1.Obliczyć pochodną funkcji uwikłanej \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} +y}{x-y} -x+y=0}\) i jej wartość dla \(\displaystyle{ x=0}\) (to wychodzi mi f'y=0 nie dzielimy przez 0 no i nie wiem jak to zrobić)
2.Obliczyć
a.) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-i}}\)
b.) rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z^{2} +4=0}\) w zbiorze liczb zespolonych

[Mistrz]

2.
a)
Zauważ, że \(\displaystyle{ (e^{\frac{1}{2}i\pi})^3=i^3=-i}\). Stąd od razu pozostałe rozwiązania: \(\displaystyle{ e^{\frac{7}{6}i\pi}}\) oraz \(\displaystyle{ e^{-\frac{1}{6}i\pi}}\).

b)
Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

[dodoni.2]

ze wzoru na różnicę kwadratów mogłabym skorzystać gdybym miala \(\displaystyle{ z^{2} -4=0}\) chyba ze chodzi o to zebym zrobila tak \(\displaystyle{ (z-2)(z-2)=0}\) lub \(\displaystyle{ (z+2)(z+2)=0}\) tyle że wtedy nie wyjdzie to samo... chyba ze zle zrozumialam..
mogę jeszcze prosic o wyjasnienie skąd się wzięło to e w pierwszym podpunkcie drugiego zadania??

[JakimPL]

\(\displaystyle{ a^2\red-\black b^2 = (a-b)(a+b)}\)

Po zastosowaniu:

\(\displaystyle{ (z - c)(z + c) = 0}\)

Gdzie \(\displaystyle{ c^2 = -4}\).

[dodoni.2]

jak zrobię z tego \(\displaystyle{ (z-c)(z+c)=0}\) ,gdzie \(\displaystyle{ c ^{2} =-4}\) to niestety i tak dalej nie wiem co mogę z tym dalej zrobić, wczesniej gdy było \(\displaystyle{ z ^{2} +4=0}\) wyliczyłam delte \(\displaystyle{ z _{1} =-2i lub z _{2} =2i}\) oto moje wyniki zapewne są złe...

[JakimPL]

Dobre, jak podstawisz dowolny z tych wyników, to równanie będzie się zgadzać, czyż nie?

[dodoni.2]

dokladnie tak:) no coz w takim razie zostało mi to pierwszze zadanie w którym mam tą funkcję uwikłaną.... i tam dzieląc przez zero nie mam pojęcia co zrobić zeby tego uniknąć

[JakimPL]

Względem \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ \left(\frac{x ^{2} +y}{x-y}\right)' - x' + y'= \frac{(x^2 + y)'(x-y) - (x^2+y)(x-y)'}{(x-y)^2} - 1=\frac{2x(x-y) - (x^2+y)}{(x-y)^2} - 1 = \frac{2x^2-2xy - x^2 - y}{(x-y)^2}=\frac{x^2-2xy - y}{(x-y)^2} - 1}\)

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{-y}{y^2} - 1}\).

Mi tak wyszło.