Geometria syntetyczna.

[Cbgirl]

Niech P bedzie plaszczyzna rzutowa w pojeciu geometrii syntetycznej. Pokaz, ze P ma conajmniej 7 Punktow i 7 prostych, uzwajacjedynie podanych aksjomow:
1) Przez kazde dwa rozne punkty pzechodzi dokladnie jedna prosta.
2) Kazde dwie proste przechodza przez conajmniej jeden wspolny punkt.
3) Kazda prosta przechodzi przez conajmniej trzy punkty.
4) Istnieja conajmniej dwie rozne proste.
5) Przez kazdy Punkt przechodzi (conajmniej) jedna prosta.
6) Kazde dwie rozne proste przecinaja sie w dokladnie jednym punkcie.

[erina]

Z punktu 4 mamy dwie różne proste, nazwijmy je A i B. Niech a będzie ich punktem wspólnym, ponadto niech na A leżą różne punkty b i c, nie leżące na B (bo na prostej są co najmniej 3 punkty i dwie różne proste nie mogą mieć więcej niż jednego wspólnego.), zaś na B punkty D i e nie leżące na A. Niech C będzie prostą przez c i d, D przez b i e, E przez b i d, F przez e i c. Są one różne i różne od wcześniej zdefiniowanych (Jeśli byłoby np. E=C, to leżą na niej c i b, więc jest prostą A, więc d leża na A; sprzeczność.). Niech f będzie przecięciem E i F, zaś g - D i C. Są one różne i różne od poprzednio zdefiniowanych punktów (znowu nie wprost). Mamy 7 punktów. Niech G będzie prostą przechodzącą przez f i g - jest różna od wcześniej zdefiniowanych prostych (dowodzimy analogicznie). Mamy 7 prostych, ckd.