rzut punktu na prostą

[Minnie_]

Znaleźć rzut punktu \(\displaystyle{ P(2,3,4)}\) na prostą \(\displaystyle{ x=y=z}\).

[lukasz1804]

Oznaczmy szukany punkt przez S. Ponieważ leży on na prostej \(\displaystyle{ x=y=z}\), to \(\displaystyle{ S=(t_0,t_0,t_0)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t_0}\). Co więcej, S jako rzut leży w najmniejszej możliwej odległości od punktu P.
Rozważmy odległość \(\displaystyle{ |PS|}\) jako funkcję \(\displaystyle{ f}\) zmiennej \(\displaystyle{ t}\):

\(\displaystyle{ f(t)=\sqrt{(t-2)^2+(t-3)^2+(t-4)^2}}\) dla \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).

Zauważmy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc osiąga ona minimum dokładnie dla takiego argumentu, dla którego minimum osiąga funkcja \(\displaystyle{ f^2}\), która jest funkcją kwadratową.
Mamy \(\displaystyle{ f^2(t)=(t-2)^2+(t-3)^2+(t-4)^2=3t^2-18t+29}\) dla \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\). Funkcja ta osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli będącej jej wykresem, dla odciętej równej \(\displaystyle{ t_0=-\frac{-18}{2\cdot 3}=3}\).

Wobec tego \(\displaystyle{ S=(3,3,3)}\).