Obliczyć odległość:
a) Punktu \(\displaystyle{ P= \left( 1,0,-5\right)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : 3x-12y+4z+8=0}\);
b) płaszczyzn równoległych \(\displaystyle{ \pi _{1} : 2x - y+3z=0}\), \(\displaystyle{ \pi _{2}: -4x+2y-6z+8=0}\);
c) punktu \(\displaystyle{ P= \left(0,0,0 \right)}\)od prostej \(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{2}= \frac{y+1}{-1}= \frac{z-3}{-1}}\);
d) prostych równoległych \(\displaystyle{ l _{1}: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} \frac{z+3}{3}}\), \(\displaystyle{ l _{2}: \frac{x}{2}= \frac{y}{4}= \frac{z}{6}}\);
e) prostej \(\displaystyle{ l: \frac{x}{-1}= \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : x+y-z+7=0}\);
obliczyć odległość
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
obliczyć odległość
a) jest na to wzór:
odległość punktu \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) wynosi
\(\displaystyle{ \frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\)
b) j.w., wyznacz dowolny punkt jednej z płaszczyzn (wymyśl sobie jakieś x i y, podstaw do równania i wyznacz z) i skorzystaj ze wzoru
c) Równanie prostej przepisujesz do postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t-1 \\ z=-t+3 \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}\) będzie rzutem punktu P na podaną prostą. Szukasz długości wektora \(\displaystyle{ \vec{PP'}}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \vec{PP'}=[x_{1},y_{1},z_{1}]}\); ponieważ punkt P' należy do podanej prostej, to dla pewnego t zachodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=2t+1 \\ y_{1}=-t-1 \\ z_{1}=-t+3 \end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ \vec{PP'}=[2t+1,-t-1,-t+3]}\).
Wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[2,-1,-1]}\) jest wektorem kierunkowym podanej prostej, więc jest prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{PP'}}\), zatem:
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{PP'}=0}\)
\(\displaystyle{ [2,-1,-1] \circ [2t+1,-t-1,-t+3]=0}\)
\(\displaystyle{ 6t=0}\)
\(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ \vec{PP'}=[1,-1,-3]}\), czyli szukana odległośc wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{11}}\)
odległość punktu \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) wynosi
\(\displaystyle{ \frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\)
b) j.w., wyznacz dowolny punkt jednej z płaszczyzn (wymyśl sobie jakieś x i y, podstaw do równania i wyznacz z) i skorzystaj ze wzoru
c) Równanie prostej przepisujesz do postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t-1 \\ z=-t+3 \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}\) będzie rzutem punktu P na podaną prostą. Szukasz długości wektora \(\displaystyle{ \vec{PP'}}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \vec{PP'}=[x_{1},y_{1},z_{1}]}\); ponieważ punkt P' należy do podanej prostej, to dla pewnego t zachodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=2t+1 \\ y_{1}=-t-1 \\ z_{1}=-t+3 \end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ \vec{PP'}=[2t+1,-t-1,-t+3]}\).
Wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[2,-1,-1]}\) jest wektorem kierunkowym podanej prostej, więc jest prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{PP'}}\), zatem:
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{PP'}=0}\)
\(\displaystyle{ [2,-1,-1] \circ [2t+1,-t-1,-t+3]=0}\)
\(\displaystyle{ 6t=0}\)
\(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ \vec{PP'}=[1,-1,-3]}\), czyli szukana odległośc wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{11}}\)
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
obliczyć odległość
d) z jednej prostej wyznacz sobie dowolny punkt (np. \(\displaystyle{ (0,0,0)}\), który należy do \(\displaystyle{ l_{2}}\)), drugą prostą przedstaw w postaci parametrycznej i dalej jak w poprzednim punkcie.
e) Najpierw badamy położenie prostej względem podanej płaszczyzny:
W postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t \end{cases}}\)
Podstawiamy do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ -t+2t-1-t+7=0}\)
\(\displaystyle{ 6=0}\)
Otrzymane równanie jest sprzeczne, czyli prosta i płaszczyzna nie mają punktów wspólnych (są równoległe). Wystarczy zatem wziąć dowolny punkt prostej i skorzystać z równania podanego w punkcie a).
e) Najpierw badamy położenie prostej względem podanej płaszczyzny:
W postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t \end{cases}}\)
Podstawiamy do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ -t+2t-1-t+7=0}\)
\(\displaystyle{ 6=0}\)
Otrzymane równanie jest sprzeczne, czyli prosta i płaszczyzna nie mają punktów wspólnych (są równoległe). Wystarczy zatem wziąć dowolny punkt prostej i skorzystać z równania podanego w punkcie a).