Pole współnego obszaru dwóch kół.

kokosek · Post autor: **kokosek** » 24 maja 2010, o 22:19

Witam.

Zastanawiam się, jak obliczyć pole wspólnego obszaru dwóch kół, gdy mam dane współrzędne środków tych kół oraz ich promienie.
Załóżmy, że środek pierwszego koła to A=(2;2), a jego promień to r1=4 oraz środek drugiego koła to B=(5;2) i jego promień to r2=3.

Oto rysunek obrazujący problem (należy obliczyć pole błękitnego obszaru; GIF, więc szybko się powinien załadować):

Aha, nie zwracajcie uwagi na to w prawym górnym rogu - robiłem to w Graphie i to tylko wzory tych funkcji.

pyzol · Post autor: **pyzol** » 24 maja 2010, o 22:49

Narysuj półprostą \(\displaystyle{ S_1 S_2}\). Połącz środki okręgów z punktem przecięcia okręgów. Korzystając z twierdzenia cosinusów. Obliczysz kąty, a co za tym idzie pola wycinków kołowych. Dodatkowo będziesz musiał jeszcze obliczyć pole trójkąta. Dość skomplikowane, chyba łatwiej całkami w tym przypadku.

kokosek · Post autor: **kokosek** » 24 maja 2010, o 23:30

No więc po pierwsze chyba odcinek \(\displaystyle{ AB}\) (albo \(\displaystyle{ S_1S_2}\)) a nie półprostą, chyba, że źle zrozumiałem.
Nie wiem, jak obliczyć te kąty z twierdzenia cosinusów (które znam, gdyby co) - musiałbym policzyć długości odcinków o punktach w środkach kół i przecięć tych kół.
Potem nie wiem, jak obliczyć pole tych wycinków kołowych za pomocą kątów (może bym i wpadł, ale nawet nie wiem, o które wycinki Ci chodzi - nie mam w ogóle wyobraźni - szczerze).
No i "obliczyć pole trójkąta" - też nie wiem, którego.

A całek niestety nie znam (2 liceum).

pyzol · Post autor: **pyzol** » 24 maja 2010, o 23:58

Półprostą, bo chciałem, żeby się przecięła z okręgiem. Postaram się później to zrobić, ale nie gwarantuję, że to będzie dzisiaj.

anna_ · Post autor: **anna_** » 25 maja 2010, o 00:08

Kolejność obliczeń:
1. Współrzędne punktów przecięcia się okręgów ( punkty C i D)
2. Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) (z twierdzenia cosinusów)
3. Pole wycinka koła (o kącie \(\displaystyle{ 2 \beta,}\) łuk wycinka to CAD)
4. Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) (z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ACD)
5. Pole wycinka koła o kącie \(\displaystyle{ \alpha}\)
6. Pole trójkąta ABC
7. Od pola wycinka z punktu 5 odejmujesz pola dwóch trójkątów z punktu 5
8. Do pola wycinka z punktu 3 dodajesz pole policzone w punckie 7

pyzol · Post autor: **pyzol** » 25 maja 2010, o 00:17

No to problem z głowy

anna_ · Post autor: **anna_** » 25 maja 2010, o 00:19

Problem to dopiero będzie z policzeniem tego wszystkiego.

kokosek · Post autor: **kokosek** » 25 maja 2010, o 08:15

No więc:
1. Obliczyłem współrzędne tych punktów z równań okręgów. (jest łatwiejszy sposób?)
Wyszło mi: \(\displaystyle{ C=( \frac{14}{3};2- \frac{4}{3} \sqrt{5})}\), \(\displaystyle{ D=( \frac{14}{3};2+ \frac{4}{3} \sqrt{5})}\)
2. Wyszło mi \(\displaystyle{ \beta = 84^ \circ}\)
3. Wyszło mi \(\displaystyle{ P= \frac{21}{5} \pi}\)
4. Policzyłem to inaczej. No więc: trójkąt ABD jest równoramienny, więc ma kąty:\(\displaystyle{ \beta}\) , \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \alpha}\)
Skoro \(\displaystyle{ \beta= 84^ \circ}\), to \(\displaystyle{ \alpha= 96^ \circ}\)
5. Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{64}{15} \pi}\)
6. Wyszło mi \(\displaystyle{ P = 2 \sqrt{5}}\)
7 i 8. Wyszło mi \(\displaystyle{ P _{koncowe} = \frac{127}{15} \pi -4 \sqrt{5} \approx 17.655}\)

Odpowiedź to 21.99. (\(\displaystyle{ \pi = 3.141592653589793238462643383279}\) )

PS W jakim programie zrobiłaś ten rysunek? Bo wygląda bardziej profesjonalnie niż z Grapha.

anna_ · Post autor: **anna_** » 25 maja 2010, o 15:31

Łatwiejszego ja nie widzę.
W sumie inaczej policzyłeś kąt, więc punkty przecięcia nie są potrzebne.

Nie widzę błędu. Wyszło mi to samo co Tobie.
Zmierzyłam kąty na rysunku.
Wyszło \(\displaystyle{ \alpha}\) około \(\displaystyle{ 96,4^o}\), \(\displaystyle{ \beta}\) około \(\displaystyle{ 83,6^o}\), więc też się zgadzają.

Może Pyzol coś wypatrzy.

Program to GEONExT.
Można go pobrać ze strony:

Kod: Zaznacz cały

http://geonext.uni-bayreuth.de/index.php?id=2453

A tu krótki kurs obsługi:

(mały, bezpłatny i po polsku)

Tu podobny do niego GeoGebra
http://www.geogebra.org/cms/

http://www.geogebra.org/help/docupl/index.html

PS. Policzyłam kratki wewnątrz tego zamalowanego obszaru i jest ich na 100% mniej niż 88, więc ten wynik 21.99, który podałeś jest błędny, a ten który nam wyszedł wygląda na poprawny.

pyzol · Post autor: **pyzol** » 25 maja 2010, o 16:19

Ja się nie zabierałem nawet za te mozolne liczenie (za leniwy jestem).
Ale wpisałem przed chwilą w matlabie dwie całki i wyszło 17.6479.

anna_ · Post autor: **anna_** » 25 maja 2010, o 18:08

Więc jest błąd w książce.
Kokosek masz dobry wynik.

kokosek · Post autor: **kokosek** » 25 maja 2010, o 21:07

No rzeczywiście się okazało, że to dobry wynik.

Dzięki za linka i informację nmn, ale na tej stronie wyskakuje mi błąd, więc z tej ściągnąłem:

Ale może to tylko u mnie, bo mysql na niektórych stronach mi siada, od kiedy się z nim bawiłem. ;-P

No i pyzol, zachęciłeś mnie tymi całkami. Mam nadzieję, że nauczycielka jakoś nam to wciśnie do programu w 3 klasie.