odszukanie wierzchołka w trojkacie

[rflq]

punkty a=(2,0) i B =(12,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=x. Oblicz współrzędne punktu C.


Potrzebuje do tego jak największą ilość rozwiązań. Proszę o pomoc. Z góry dziękuje

[lukasz1804]

Skoro \(\displaystyle{ C}\) leży na prostej \(\displaystyle{ y=x}\), to \(\displaystyle{ C=(x,x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x}\). Co więcej, odcinki AC i BC są prostopadłe (jako przyprostokątne w trójkącie prostokątnym). Mamy przy tym \(\displaystyle{ \vec{AC}=[x-2,x], \vec{BC}=[x-12,x]}\). Zatem z warunku prostopadłości wektorów dostajemy \(\displaystyle{ 0=\vec{AC}\circ\vec{BC}=(x-2)(x-12)+x^2}\), skąd \(\displaystyle{ 0=x^2-7x+12=(x-3)(x-4)}\).

Łatwo dostajemy stąd dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ C=(3,3)}\) lub \(\displaystyle{ C=(4,4)}\).

[rflq]

Dziekuje Ci,
ja znalazlem inny sposob, przez zakreslenie kola , z wlasnoscie trojkata prostokątnego, że R
jest rowne R=0,5\(\displaystyle{ \left|AB \right|}\), pozniej znajduje dlukosc odcinka \(\displaystyle{ \left|AB \right|}\) i wyznaczam wzor okregu, \(\displaystyle{ (x ^{2}-7) ^{2}+y ^{2}=25}\).Nastepnie, tworze układ rownan, rozwiazuje i otrzymuje C(3,3) \(\displaystyle{ \vee}\) C(4,4)

-- 23 maja 2010, o 10:34 --

a mogłbyś mi powiedzieć jak wyznaczyc rownianie prostej przechodzącej przez punkt A i C
bo gdy przyjmuje ze C(x,x) i kożystam ze wzroru, \(\displaystyle{ y -y _{a}= \frac{y _{b}-y _{a} }{x _{b}-x _{a} } \cdot \left(x-x _{a} \right)}\), podstawiajac \(\displaystyle{ A\left(2,0 \right)}\) i \(\displaystyle{ C\left(x,x \right)}\) wychodzi mi ze \(\displaystyle{ y=x}\)
a jak moze sprobowac podstawiac \(\displaystyle{ \vec{AC}=[x-2,x], \vec{BC}=[x-12,x]}\) to do
\(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\)

[lukasz1804]

Ale w założeniu nie jest A=(3,3), tylko A=(2,0). Zatem prosta AC ma inne równanie...

Jeśli \(\displaystyle{ x\ne 2}\), to mamy \(\displaystyle{ 0=2a+b, x=ax+b}\), skąd \(\displaystyle{ x=a(x-2)}\), tj. \(\displaystyle{ a=\frac{x}{x-2}}\) i wobec tego \(\displaystyle{ b=-2a=-\frac{2x}{x-2}}\). Prosta AC ma zatem równanie \(\displaystyle{ y=\frac{x}{x-2}t-\frac{2x}{x-2}}\) (użyłem zmiennej \(\displaystyle{ t}\), bo \(\displaystyle{ x}\) jest już wykorzystana).

Jeśli \(\displaystyle{ x=2}\), to oczywiście prosta AC ma równanie \(\displaystyle{ x=2}\).

[rflq]

Prośilbym jeszcze o jakieś rozwiazania,

[lukasz1804]

Trochę karkołomny, ale sensowny sposób rozwiązania wykorzystuje wzór na pole trójkąta.
Skoro już wiemy, że \(\displaystyle{ C=(x,x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x}\) (bo \(\displaystyle{ C}\) leży na prostej \(\displaystyle{ y=x}\)) i \(\displaystyle{ C}\) jest wierzchołkiem kąta prostego, to ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ \frac{|AC||BC|}{2}=\frac{|AB|\cdot h}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) jest wysokością opuszczoną z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).
Mamy przy tym \(\displaystyle{ h=|x|}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2}\cdot\sqrt{(x-12)^2+x^2}=10|x|}\). Podnosząc obie strony tej równości do kwadratu dostajemy \(\displaystyle{ (2x^2-4x+4)(2x^2-24x+144)=100x^2}\). Stąd \(\displaystyle{ (x^2-2x+2)(x^2-12x+72)=25x^2}\), czyli \(\displaystyle{ x^4-14x^3+73x^2-168x+144=0}\). Teraz należy tylko sprawdzić, że jedynymi pierwiastkami tego równania są 3 i 4.

[rflq]

prosił bym jeszcze o jakies rozwiązania, albo pomysly jak rozwiazac

-- 24 maja 2010, o 16:09 --

\(\displaystyle{ (2x^2-4x+4)(2x^2-24x+144)=100x^2}\) ale jak podzielisz przez 2 to nie dostaniesz,
\(\displaystyle{ (x^2-2x+2)(x^2-12x+72)=25x^2}\) tylko po \(\displaystyle{ =50x^2}\) i wtedy niestety nie otrzymasz \(\displaystyle{ \left( x-4\right) ^{2} \cdot \left( x-3\right) ^{2}}\)

-- 24 maja 2010, o 16:23 --

raczej dobrze, rozpisalem to i dobrze wychodzi, to mi powiedz dalczego tam dzielisz przez 4 a nie przez 2
chodzi o to ze jak wyciagne 2 z jednego nawiasu to podziele przez 2 a jak z drugiego to prze 4 tak,-- 24 maja 2010, o 16:48 --a tak myslalem zeby zrobic rownoleglobok i cos z tym pokombinowac,