PROBLEM. Odległości między płaszczyznami ?

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Daro1984pl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 kwie 2010, o 11:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: GDANSK

PROBLEM. Odległości między płaszczyznami ?

Post autor: Daro1984pl »

Witam mam problem z dwoma zadaniami :

Zad.1

Obliczyć odległość między płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi _{1} : 4x -2y + 10z - 30 = 0}\) i płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi_{2}}\) , która przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P(1,2,-3)}\) i jest prostopadła do wektora \(\displaystyle{ [2,-1,5]}\)

Prawidłowa odpowiedź : \(\displaystyle{ \sqrt{30}}\)

Zad.2

Obliczyć odległosć między płaszczyznami \(\displaystyle{ \pi_{1} i \pi_{2)}\) , gdy
\(\displaystyle{ \pi_{1} : x + y + z = 0 , \pi_{2} : 3x + 3y + 3z + 10 = 0}\)

Prawidłowa odpowiedź : \(\displaystyle{ d = \frac{5 \sqrt{2} }{4}}\)



Dziękuje bardzo za zainteresowanie i pomoc
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

PROBLEM. Odległości między płaszczyznami ?

Post autor: Chromosom »

1. rownanie ogolne plaszczyzny to \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), wspolczynniki otrzymujesz z warunku prostopadlosci do wektora i przechodzenia przez okreslony punkt (trzeba jego wspolrzedne podstawic jako x, y, z), nastepnie znalezc jawna postac tych plaszczyzn. Odleglosc pomiedzy nimi to najkrotsza laczaca je droga. Wybierzmy na plaszczyznach \(\displaystyle{ \pi_1,\pi_2}\) punkty odpowiednio \(\displaystyle{ x_1,y_1,z_1}\) i \(\displaystyle{ x_2,y_2,z_2}\) wystarczy znalezc ekstremum warunkowe \(\displaystyle{ D^2(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}\) przy z okreslonym jawnym rownaniem x i y, zostaje ekstremum funkcji czterech zmiennych do znalezienia (wyjdzie niewlasciwe). ANalogicznie w drugim przypadku
Daro1984pl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 kwie 2010, o 11:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: GDANSK

PROBLEM. Odległości między płaszczyznami ?

Post autor: Daro1984pl »

W przypadku drugiego zadania...

Czyli wyznaczam wektory prostopadłe, powiedzmy że \(\displaystyle{ \vec{R} _{\pi1} [1,1,1]}\) i \(\displaystyle{ \vec{R} _{\pi2} [3,3,3]}\) i co dalej ?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

PROBLEM. Odległości między płaszczyznami ?

Post autor: »

Odległość płaszczyzn równoległych:
\(\displaystyle{ Ax +By+Cz+D_1=0 \\
Ax +By+Cz+D_2=0}\)

wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}\)

Q.
ODPOWIEDZ