Czworościan objętość

dzikaafryka · Post autor: **dzikaafryka** » 16 maja 2010, o 22:05

Objętość czworościanu o trzech danych wierzchołkach A(2,0,-1), B(3,-1,1), C(2,-2,3) jest równa 5. Znaleźć współrzędne czwartego wierzchołka D czworościanu wiedząc że leży on na osi Oy.

Yaco_89 · Post autor: **Yaco_89** » 16 maja 2010, o 22:10

jakie masz narzędzia do dyspozycji? w sensie czy jesteś jeszcze przed studiami czy już robiłas jakąś analityczną w przestrzeni i potrafisz znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej punkty A, B i C? bo wtedy zadanie jest dość łatwe, metodami licealnymi też się da zrobić ale trochę żmudniej.

dzikaafryka · Post autor: **dzikaafryka** » 16 maja 2010, o 22:44

Jestem już na studiach ale nie wiem jak to zrobić

Yaco_89 · Post autor: **Yaco_89** » 17 maja 2010, o 01:07

Szukany wierzchołek ma współrzędne (x,0,y) bo leży na osi OY.
I sposób: liczysz pole trójkąta ABC iloczynem wektorowym i znajdujesz równanie normalne (ax+by+cz+d=0) płaszczyzny na której on leży, mając to równanie wstawiasz współrzędne wierzchołka D do wzoru na odległość punktu od płaszczyzny. Tym samym znajdujesz wysokość czworościanu (zależną od x i y). No a jak masz pole podstawy ostrosłupa (którym jest czworościan) i wzór na jego wysokość w zależności od x i y to wystarczy znaleźć takie x i y żeby objętość wynosiła 5.
II sposób: czworościan jest rozpięty na wektorach AD=(2-x,0,-1-y) BD=(3-x,-1,1-y) i CD(2-x,-2,3-y). No to teraz wstawiamy do wzoru na objętość czworościanu rozpiętego na danych wektorach i próbujemy wyliczyć x i y.

Myślę, że którąś z tych metod powinno pójść.