Romb

LauRa · Post autor: **LauRa** » 22 paź 2006, o 11:59

Punkt \(\displaystyle{ A=(1,0)}\) jest wierzchołkiem rombu o kącie przy tym wierzchołku równym \(\displaystyle{ 60*}\). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu wiedząc, że dwa z nich leżą na prostej \(\displaystyle{ l : 2x-y+3=0}\). Na ile sposobów można rozwiązać to zadanie?

Z góry dziękuję

korty · Post autor: **korty** » 24 paź 2006, o 13:52

Liczenie jest żmudne,ale podpowiem jak to rozwiązać.Przez pkt (1,0) przeprowadź prostą || do prostej y=2x+3;oczywiście wsp. kierunk. tej prostej m=2. Aby wyznaczyć wierzchołek rombu leżący na prostej y=2x+3,należy:
Przez pkt (1,0) przeprowadź prostą, przy czym wsp. kierunkowy tej prostej m1=2+√3;
Dlatego taki,bo poprzednia prosta którą przeprowadziłaś ma m=2,a kąt między nią a nowym ramieniem=60°,czyli tg60°=√3;
Przecięcie tej prostej z prostą y=2x+3 wyznaczy ci pkt (x1,y1) który będzie drugim wierzchołkiem rombu. Oblicz długość odcinka między (1,0) i (x1,y1).Będzie to długość boku rombu.
Narysuj to sobie na kartce.Wtedy zobaczysz że wyznaczenie dwóch pozostałych wierzchołków jest b. proste.Jeżeli chcesz to dołącz obliczenia do jakich doszłaś.Prostsze jest sprawdzenie niż liczenie.
Napisałem:
przy czym wsp. kierunkowy tej prostej m1=2+√3;
będzie m1=tg(Π/3+arctg(2));
Są dwa rozwiązania.

LauRa · Post autor: **LauRa** » 24 paź 2006, o 15:12

Wcześniej już nad tym myślałam, tylko jak dodamy do niej te 60 stopni to juz będzie funkcja malejąca i powinna chyba mieć ujemny współczynnik kierunkowy?
A myślałam też żeby odjąć te 60 stopni i wtedy wyjdzie po drugiej stronie... Tak będzie dobrze?
aha, a jak rozumieć treść zadania, trzeba rozwiązać dla jednej możliwości i napisać jakie są pozostałe czy wszystkie trzeba policzyć?

korty · Post autor: **korty** » 24 paź 2006, o 15:53

Jeżeli masz Derive6,to możesz to wszystko wykreślić. Jedna prosta to y=2*x+3,druga:
y=2*x-1 (ta przechodzi przez (1,0) i trzecia y=tg(Π/3+arctg(2))*(x-1);
Π/3+arctg(2) w stopniach to około 123° i oczywiście tg(123)

LauRa · Post autor: **LauRa** » 24 paź 2006, o 19:02

a nie y=2x-2 ?
i ja to jednak zrobilam ze odjelam te 60 stopni ale tam wszedzie juz we wspolrzednych i dlugosciach wychodza pierwiastki, blech ;/

korty · Post autor: **korty** » 26 paź 2006, o 13:42

Oczywiście y=2x-2.Wychodzą liczby niecałkowite bo kąt nachylenia prostej y=2x+3 wynosi
Ψ=1.1071[rad].Rozwiązałem zadanie do końca. Wykres możesz zobaczyć:

Kliknij 2 razy na obrazek.
Piszemy równanie prostej y=tg(Π/3+Ψ) (x-1);to równanie rozwiązujemy z równ. y=2x+3 i otrzymujemy pkt przecięcia (x,y)=(-0.42,2.15);
Obliczamy długość odcinka (1,0)(-0.42,2.15)
->b=2.58;Jest to długość boku rombu.
Ponieważ jest to długość boku,to możemy obliczyć wsp. pktu leżącego na niebieskiej prostej (obrazek) x1=b*cos(Ψ);y1=b*sin(Ψ); ale x1'=x1+1;przesuwamy od pktu (1,0);
To 3 pkt rombu.
Teraz piszemy równanie prostej przechodzącej przez ten pkt,liczymy pkt wspólny tej prostej z prostą y=2x+3 i otrzymamy 4 pkt.

LauRa · Post autor: **LauRa** » 26 paź 2006, o 15:45

Dziękuję bardzo
Sprawdzę sobie z moimi obliczeniami, tylko że ja robiłam zostawiając wszędzie pierwiastki, bo pewnie o to chodzi by się z nimi namęczyć...

[ Dodano: 26 Październik 2006, 15:47 ]
Aha, a jeszcze można to zrobić tak, że romb jest na dole oraz że podana w zadaniu prosta jest jego przekątną?