przestrzenie afiniczne,

[Cbgirl]

A wiec tak, mam dowiesc:
a) Niech g, h proste nalezace do A. (przestrzen afiniczna). Wtedy zachodzi> g i h sa albo rownolegle, albo przecinaja sie dokladnie w jednym punkcie.
b)"Rownoleglosc" jest relacja rownowaznosci na G (G zbior wszsystkich prostych w A.)

w dowodzie mozemy korzystac jednynie z tych 4 aksjomow:
1*przez jeden punku przedchodzi conajmniej jenda prosta, i kazda prosta przechodzi prze conajmniej jeden punkt
2*przez dwa rozne punkty przechodzi dokladnie jedna prosta
3*dla kadej prostej g i kazdego punktu P istnieje dokladnie jedna prosta, kotora jest rownolegla do g i przechodzi prze punkt P (dwie proste sa wtedy rownolegle, kiedy sa identyczne albo kied nie maja wspolnego punktu przeciecia)
4* istnieje trojkat.

i tak co do podpunktu a): ja rozumiem, albo lepiej powiedziane wiem ze tak jest. ale jak mam tego dowiesc... ja bym powiedziala ze to jest jasne wprost z 3*, ale mam tego jeszcze dowiesc???

a co do podpunktu b) to w ogole nie wiem jak zaczac...

[JankoS]

Jeżeli \(\displaystyle{ g = h}\), to z 3 \(\displaystyle{ g || h}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ g \neq h}\), to
- mają dokładnie jeden punkt wspólny(gdyby miały dwa i więcej punktó wspólnych, to zachodziłoby na podstawie 2 \(\displaystyle{ g = h}\))
- albo nie mają punktu wspólnego, czyli na podstawie aksjomatu 3, a dokładniej definicji w nim występującej \(\displaystyle{ g || h}\).
W drugiej części należy pokazać, że realacja || jest zwrotna \(\displaystyle{ g||g}\), symetryczna \(\displaystyle{ g||h \Rightarrow h||g}\) i przechodnia \(\displaystyle{ \left(g||h \ i \ h||k \right) \Rightarrow g||k}\)

[Cbgirl]

super! wielkie dzieki Ci! Mam jeszcze kolejne pytanie:

Niech A' bedzie afiniczna plaszczyzna. Definujemy isomprfizm A na A' poprzez bijekcje P na P', ktore odwzorowuje prosta na prosta (przy czym proste traktowane sa jako zbior punktow). Pokaz ze, odwrotnosc izomorfizmu jest tez izomorfizmem.