wierzchołek równoległoboku

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Joasia1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 23 lut 2010, o 19:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Stargard Szczeciński

wierzchołek równoległoboku

Post autor: Joasia1991 »

Punkt A(-4,-1) jest jednym z wierzchołków równoległoboku ABCD. Dwa boki równoległoboka zawierają się w prostych o równaniach y=3x-5 oraz y=1/2x+5. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego równoległoboku.

Próbowałam ze wzroem na prostą przechodzącą przez 2 punkty ale nie mogę rozwiązać do końca, proszę o pomoc:)
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

wierzchołek równoległoboku

Post autor: tometomek91 »

Punkt A nie należy oczywiście do żadnej z prostych (ponieważ byłoby za mało danych). Punkt przecięcia się tych prostych wyznaczy nam wierzchołek leżący naprzeciw punktu A. Liczymy: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x+5=3x-5}\) a stąd \(\displaystyle{ x=4}\) i dalej \(\displaystyle{ y=7}\). Mamy punkt D=(4;7). Niech następny szukany punkt nazywa się C=(c;d) - takie współrzędna, żeby się nie mieszało, np. z równaniami prostych. Leży on na jednej z podanych prostych, np. \(\displaystyle{ y=3x-5}\). Wówczas jego współrzędne to C=(c;3c-5). Prosta AC musi być równoległa do prostej \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+5}\) (jest to w końcu równoległobok). Napiszmy równanie takiej prostej: \(\displaystyle{ -1=-4a+b}\) stąd \(\displaystyle{ b=-1+4a}\). I dalej: \(\displaystyle{ 3c-5=ac+b}\), podstawiając wyznaczone wcześniej b, otrzymujemy: \(\displaystyle{ 3c-5=ac-1+4a \Rightarrow a=\frac{3c-4}{c+4}}\) - mamy współczynnik kierunkowy prostej! Zatem prosta AC jest postaci \(\displaystyle{ y=\frac{3c-4}{c+4}x}\) + jakieś tam b. Owa prosta ma być równoległa do prostej \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+5}\) - przyrównujemy współczynniki: \(\displaystyle{ \frac{3c-4}{c+4}=\frac{1}{2}}\) a stąd \(\displaystyle{ c=-\frac{4}{5}}\), czyli: \(\displaystyle{ C=(-\frac{4}{5};-5\frac{2}{5})}\), znając punkt C, dostajemy równość: \(\displaystyle{ \vec{AC}= \vec{BD}}\), gdzie współrzędne punktu B to B=(e;f). Dalej już łatwo wyznaczyć punkt B.
Joasia1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 23 lut 2010, o 19:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Stargard Szczeciński

wierzchołek równoległoboku

Post autor: Joasia1991 »

co prawda wkradł Ci się mały błąd w obliczeniu współrzędnych punktu C ale bardzo się przydało, dziękuję:)
ODPOWIEDZ