Oblicz pole ...

[czarny91]

Mam problem z pewnym zadaniem, którego nie znam pełnej treści (tzn. bez danych liczbowych): oblicz pole wycinka kołowego znając długość odcinków łączych środek okręgu z okręgiem i ich współrzędne. Czy ktoś może powiedzieć, w jaki sposób zrobić to zadanie?

[Majeskas]

Przyznam, że nie rozumiem. Odcinki łączące środek okręgu z okręgiem to przecież promienie. Promień łączy okrąg z jego środkiem, czyż nie? Co rozumiesz przez ich współrzędne? Chodzi o współrzędne końców odcinków (promieni) na krańcach łuku?

[czarny91]

Tak to promienie, bo wycinek kołowy tworzą promienie i chodzi o te współrzędne końców promieni na krańcach łuku.

[Majeskas]

No to da się to zrobić. Przyjmijmy: S - środek okręgu. A - koniec jednego promienia krańcowego, B-koniec drugiego promienia krańcowego. |AS|=|BS|=r, \(\displaystyle{ | \sphericalangle ASB|= \alpha}\)

\(\displaystyle{ S_w= \frac{ \alpha }{360^\circ} \pi r^2}\)

Potrzebujemy więc jedynie znaleźć \(\displaystyle{ \alpha}\)

Proponuję z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABS:

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{|AS|^2+|BS|^2-|AB|^2}{2|AS||BS|}= \frac{2r^2-|AB|^2}{2r^2}}\)

Na podstawie cosinusa jesteśmy w stanie powiedzieć jakim kątem jest \(\displaystyle{ \alpha}\), gdyż \(\displaystyle{ \alpha \in (0^\circ,180^\circ)}\), a cosinus jest w tym przedziale różnowartościowy. Jeżeli cosinus wyjdzie taki, że nie będziemy wiedzieli dla jakiego kąta przyjmuje on taką wartość, możemy przybliżyć kąt z tablic, kalkulatorem lub chcąc podać dokładny wynik użyć funkcji arcus cosinus (pamiętając, że operujemy wtedy miarą łukową, co będzie miało swoje konsekwencje we wzorze na pole wycinka).

PS: w zadaniu przyjąłem, że chodzi o wycinek kołowy mniejszy niż półokrąg, czyli oparty na kącie mniejszym
niż półpełny. Otwartość zadania otwiera tak naprawdę 2 przypadki: wycinka, który ja wziąłem pod uwagę i drugiego, który stanowi dopełnienie pierwszego do danego okręgu. Natomiast pole drugiego wycinka można w razie czego łatwo znaleźć (chyba wiadomo jak).

Pozdrawiam.

[czarny91]

Mała pomyłka, podane są współrzędne punktów A, B i środka okręgu. To zadanie jest na poziomie podstawowym, więc szukam jakiegoś innego i bardziej prostego rozwiązania.

[niego11]

1.Ile boków ma wielokat wypukly w którym liczba przekatnych jest o117 wieksza od liczby jego bokow
2.Robotnik przeciął blachę w kształcie trójkąta prostokatnego wzdłuż wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego dzieląc go na 2 trójkąty prostokątne.Wspólna przyprowtokatna powstałych trójkątów ma długość 1.2m zaś drugie przYprostokatne różnią się o 70cm.Oblicz powierzchnię kawałków blachy po rozcieciu.
Z góry dziękuję za pomoc!

[Majeskas]

Przecież ja tak właśnie rozwiązałem to zadanie. Mając dane punkty A,B, S. Nie da się tego za bardzo zrobić inaczej niż zaproponowałem, tzn. do policzenia pola wycinka potrzebna jest miara kąta ASB.
Jedyne co dałoby się uprościć w tym zadaniu tak, żeby nadawało się ono na poziom podstawowy, to takie dobranie współrzędnych, żeby po opuszczeniu w trójkącie równoramiennym ASB wysokości z wierzchołka S na podstawę AB, otrzymać takie 2 przystające trójkąty prostokątne, żeby po zastosowaniu w nich trygonometrii wyszło, że ich kąty mają rozwartości: \(\displaystyle{ 30^\circ}\) i \(\displaystyle{ 60^\circ}\) lub 2 razy po \(\displaystyle{ 45^\circ}\).

Pozdrawiam.-- 18 maja 2010, 21:49 --1. n -il. boków

p - il. przekątnych

wzór: \(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}n(n-3)}\)

p=n+117

ułożyć równanie, rozwiązać.


2. Trójkąt prostokątny ABC.

Kąt prosty przy wierzchołku A. D - spodek wysokości na przeciwprostokątne.

|AD|=1,2

|BD|=x

|CD|=x+0,7

Teraz tak:
Twierdzenia Pitagorasa w trójkątach ABC, ABD, ADC:

\(\displaystyle{ \begin{cases} |AD|^2+|BD|^2=|AB|^2 \\ |AD|^2+|DC|^2=|AC|^2 \\ |AB|^2+|AC|^2=|BC|^2\end{cases}}\)

a to pozwala nam zapisać równanie:

\(\displaystyle{ x^2+1,44+(x+0,7)^2+1,44=(2x+0,7)^2}\)

Po rozwiązaniu mamy wszystkie dane do znalezienia pola trójkąta ABC.