Równanie stycznych do okręgu, prostopadłe do prostej

[Woniak]

Witam, chciałbym by ktoś rozwiązał to zadanie i podał rozwiązania - nie jestem pewny swoich.

Napisz równanie stycznych do okręgu \(\displaystyle{ (x-2)^2+(y+1)^2=9}\)
i prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ x+y+1=0}\)

Moje wyniki:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ g=x+(3-3 \sqrt{2})}\)
\(\displaystyle{ h=x+(3+3 \sqrt{2})}\)

[pelas_91]

Równania stycznych czyli równania prostych, to co napisałeś nawet nie wygląda na równanie prostej?

I napisz proszę, czy jesteś z podstawy czy rozszerzenia

[Majeskas]

To nie są dobre wyniki. Pokaż, jak szukałeś współczynnika b (a jest ok).

[Woniak]

Pelas_91
W takim razie co, parabole?
Prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\)?
Jeśli tak to u mnie kolejno:
\(\displaystyle{ a=1, b \approx (-1,24)}\)
\(\displaystyle{ a=1, b \approx 7,24}\)

Majeskas
Sądzę, że błąd mam już na początku ponieważ pominąłem +1 w równaniu prostej.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-4x+y^2+2y-4=0 \\ g=x+b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ g=x+b}\), (tu błąd?) bo a=1 (prostopadłe), b ze wzoru.

Do równania okręgu podstawiłem za y (x+b), obliczyłem deltęX. DeltaX = 0, bo 1 punkt wspólny czyli 1 rozwiązanie - powstało kolejne rów. kwadratowe. Obliczyłem deltaB (z powstałego równania), a jej pierwiastki to 'b' w prostych - mam nadzieje, że napisałem to zrozumiale ...

[pelas_91]

Po pierwsze równanie prostej to: \(\displaystyle{ y=ax+b}\) a nie \(\displaystyle{ g=ax+b}\).

Po drugie wybierasz najmniej wygodną metodę.

Równanie prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ x+y+1=0}\) to \(\displaystyle{ -x+y+C=0}\).

Ukryta treść:    

Odrobina wiedzy teoretycznej.
Prosta \(\displaystyle{ k: A_1x+B_1y+C_1=0}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ l: A_2x+B_2y+C_2=0 \ \Leftrightarrow \ A_1A_2+B_1B_2=0}\). W szczególności prosta \(\displaystyle{ Ax+By+C_1=0}\) jest prostopadła do każdej z prostych: \(\displaystyle{ -Bx+Ay+C_2=0}\) oraz \(\displaystyle{ Bx-Ay+C_3=0}\)

I prosta ta będzie styczną do okręgu, tylko wtedy gdy jej odległość od środka wynosi tyle ile promień.

Odległość prostej \(\displaystyle{ -x+y+C=0}\) od punktu \(\displaystyle{ S(2,-1)}\) ma wynosić \(\displaystyle{ 3}\).

Wychodzi ładnie:
\(\displaystyle{ \frac{|-2-1+C|}{\sqrt{2}}=3}\)
\(\displaystyle{ |C-3|=3\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ C=3-3\sqrt{2} \ \vee \ C=3+3\sqrt{2}}\)

-- 15 maja 2010, 16:12 --

To nie są dobre wyniki. Pokaż, jak szukałeś współczynnika b (a jest ok).

Faktycznie machnął się z minusami.

[Woniak]

Po pierwsze równanie prostej to: \(\displaystyle{ y=ax+b}\) a nie \(\displaystyle{ g=ax+b}\).

G dałem zamiast y dla odróżnienia.

Więc szukanymi prostymi są:
\(\displaystyle{ y=x-3-(3 \sqrt{2} )}\)
\(\displaystyle{ y=x-3+(3 \sqrt{2} )}\)
?

[pelas_91]

G dałem zamiast y dla odróżnienia.

To źle dałeś i wierz mi na maturze nie tolerują "autorskich" oznaczeń.-- 15 maja 2010, 18:27 --

Więc szukanymi prostymi są:
\(\displaystyle{ y=x-3-(3 \sqrt{2} )}\)
\(\displaystyle{ y=x-3+(3 \sqrt{2} )}\)

Bardzo dobrze.