Długość wektora a x b

[Daro1984pl]

Znaleźć długość wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) x \(\displaystyle{ \vec{b}}\) , jeżeli \(\displaystyle{ \vec{a} = 2\vec{i}-\vec{j}+ \vec{k} , \vec{b}=5 \vec{i}+3 \vec{j}}\)


Bardzo proszę o pomoc...

Dziękuje z góry

[Majeskas]

Ciekawe. Rozumiem, że ta długość to ma być wartość iloczynu wektorowego?:

\(\displaystyle{ | \vec{a} \times \vec{b}|=| \vec{a}|| \vec{b}|sin( \sphericalangle ( \vec{a}, \vec{b}))}\)

Wynik powinien być podany jako jakaś kombinacja długości tych poszczególnych wektorów?

Ja wpadłem na coś takiego jedynie, ale nie wiem, czy to jest na pewno poprawne (wektory są dziwne )

przykładowo:

\(\displaystyle{ \vec{p}= \vec{u}+ \vec{v}}\)

Graficznie możemy zbudować trójkąt o bokach długości: \(\displaystyle{ | \vec{u}|, | \vec{v}|, |\vec{p}|}\).
Wtedy z twierdzenia cosinusów:

\(\displaystyle{ | \vec{p}|= \sqrt{| \vec{u}|^2+ |\vec{v}|^2-2| \vec{u}|| \vec{v}|cos( \sphericalangle ( \vec{u}, \vec{v})) }}\)

\(\displaystyle{ | \vec{p}|= \sqrt{| \vec{u}|^2+ |\vec{v}|^2-2( \vec{u}\circ \vec{v}) }}\)

Podobnie:

\(\displaystyle{ \vec{q}= \vec{u}- \vec{v}=\vec{u}+(- \vec{v})}\)

Możemy (na tym samym rysunku) zbudować trójkąt o bokach długości: \(\displaystyle{ | \vec{u}|, | -\vec{v}|=| \vec{v}| , |\vec{q}|}\).

\(\displaystyle{ | \vec{q}|= \sqrt{| \vec{u}|^2+ |\vec{v}|^2-2| \vec{u}|| \vec{v}|cos( \sphericalangle ( \vec{u}, -\vec{v})) }}\)

Gdy narysujemy różnicę wektorów na tym samym rysunku, co sumę, można zauważyć, że \(\displaystyle{ | \sphericalangle ( \vec{u}, - \vec{v})|=180^\circ-| \sphericalangle ( \vec{u}, \vec{v})|}\)

W takim razie:

\(\displaystyle{ | \vec{q}|= \sqrt{| \vec{u}|^2+ |\vec{v}|^2-2| \vec{u}|| \vec{v}|cos(180^\circ-| \sphericalangle ( \vec{u}, \vec{v})|) }=\sqrt{| \vec{u}|^2+ |\vec{v}|^2+2| \vec{u}|| \vec{v}|cos(\sphericalangle ( \vec{u}, \vec{v})) }=\sqrt{| \vec{u}|^2+ |\vec{v}|^2+2( \vec{u}\circ \vec{v}) }}\)

Jeśli to, co napisałem jest prawdą. Jesteśmy w stanie w ten sposób wyznaczyć długości wektorów a i b.


\(\displaystyle{ \vec{c}=2 \vec{i}- \vec{j}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{c}|= \sqrt{| \vec{2i}|^2+ |\vec{j}|^2+2( \vec{2i}\circ \vec{j})}\)

\(\displaystyle{ \vec{a}=\vec{c}+ \vec{k}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{a}|= \sqrt{| \vec{c}|^2+ |\vec{k}|^2-2( \vec{c}\circ \vec{k})}\)

\(\displaystyle{ | \vec{a}|= \sqrt{| \vec{2i}|^2+ |\vec{j}|^2+2( \vec{2i}\circ \vec{j})+ |\vec{k}|^2-2((2 \vec{i}- \vec{j}) \circ \vec{k})}\)

\(\displaystyle{ | \vec{a}|= \sqrt{| \vec{2i}|^2+ |\vec{j}|^2+2( \vec{2i}\circ \vec{j})+ |\vec{k}|^2-2(2 \vec{i}\circ \vec{k}- \vec{j} \circ \vec{k})}\)

\(\displaystyle{ \vec{b}=5 \vec{i}+ 3\vec{j}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{b}|= \sqrt{| \vec{5i}|^2+ |\vec{3j}|^2-2( \vec{5i}\circ \vec{3j})}\)

Mamy więc tym samym (powiedzmy) znalezione długości wektorów a i b. Co począć z sinusem kąta między nimi, nie mam pojęcia.

Pozdrawiam.

[okon]

a nie można po prostu tak:

\(\displaystyle{ a \times b=[2i,-j,k] \times [5i,3j,0]=[-3,5,11]}\)
\(\displaystyle{ \vec{ab}= \sqrt{{(-3)^2}+5^2+11^2}= \sqrt{155}}\)

[Daro1984pl]

I tak po prostu to jest prawidłowe rozwiązanie. Genialne jest to forum

Dziękuje za uwagę i pomoc.

[Majeskas]

A mógłby mi ktoś po prostu wytłumaczyć na jakiej podstawie jest to rozwiązane?
Dlaczego kiedy wektor jest sumą trzech wektorów, można go zapisać jako wektor przestrzenny o współrzędnych odpowiadających kolejno tym wektorom? Skąd taki wynik liczbowy? Z macierzy?

[Daro1984pl]

Poczytałem trochę teorii i wychodzi własności iloczynu wektorowego

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\a _{1} & a_{2} &a _{3} \\b _{1} & b_{2} &b _{3} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \vec{i} (a_{2}b _{3} - a _{3}b_{2} , \vec{j} (a _{3} b _{1} - a _{1}b _{3} ) , \vec{k}( a_{1} b_{2} - a _{2} b _{1} )}\) , gdzie \(\displaystyle{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}= 1}\)

[BettyBoo]

Majeskas, to nie są byle jakie wektory, tylko wersory odpowiednich osi układu współrzędnych:

\(\displaystyle{ \vec{i}=[1,0,0],\quad \vec{j}=[0,1,0],\quad \vec{k}=[0,0,1]}\)

Podstawiasz i otrzymujesz współrzędne wektora jak trzeba.



Daro1984pl, iloczyn wektorowy to nie jest macierz, którą zapisałeś, tylko jej wyznacznik. W tym, co poniżej zapisałeś powinny być plusy, a nie przecinki no i oczywiście wektory to wektory a nie liczby, zapewne więc chodziło o zaznaczenie, ze długości wektorów \(\displaystyle{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}\) są równe 1 (chociaż to tutaj zupełnie nieistotne).

Pozdrawiam.

[Majeskas]

Majeskas, to nie są byle jakie wektory, tylko wersory odpowiednich osi układu współrzędnych:

\(\displaystyle{ \vec{i}=[1,0,0],\quad \vec{j}=[0,1,0],\quad \vec{k}=[0,0,1]}\)

Podstawiasz i otrzymujesz współrzędne wektora jak trzeba.

To zmienia postać rzeczy.
Gdybym to wiedział, wrzuciłbym do tej macierzy i policzył., bo tyle o iloczynie wektorowym wiem. Ale skąd wiadomo, że to są konkretnie te wersory?

[BettyBoo]

Ale skąd wiadomo, że to są konkretnie te wersory?

Nie bardzo wiem, jak mam Ci odpowiedzieć na to pytanie...Po prostu, \(\displaystyle{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}\) to są standardowe oznaczenia wersorów osi układu współrzędnych.

Jeśli to do Ciebie nie przemawia, to zapytaj może jakoś inaczej? Bo nie bardzo rozumiem, czego nie rozumiesz.

Pozdrawiam.

[Majeskas]

Ok. To była odpowiedź, której oczekiwałem. Po prostu dopiero skończyłem liceum i choćby posługując się jako tako iloczynem wektorowym, już wiem więcej niż mnie tam nauczono. W związku z tym takie standardowe oznaczenia jako wersorów osi układu były mi obce. Sądziłem, że są to jakieś dowolne wektory. Teraz już rozumiem, dziękuję.