Wspolrzedne punktu na podstawie kata i dlugosci

[Vladq]

Witam.
Mam podane wspolrzedne poczatkowe i koncowe pewnego odcinka i znam jego dlugosc. Czy da sie wyznaczyc wspolrzedne konca odcinka, ktory jest narysowany pod okreslonym katem do istniejacej osi jesli jego dlugosc jest taka sama jak poprzedniego odcinka?

Upraszczajac:
Mam odcinek zaczynajacy sie we wspolrzednych (\(\displaystyle{ x_{1}}\) , \(\displaystyle{ y_{1}}\)) i konczacy sie we wspolrzednych (\(\displaystyle{ x_{2}}\), \(\displaystyle{ y_{2}}\)) i wiem, ze ma on dlugosc "d". Czy da sie wyznaczyc wspolrzedne koncowe odcinka, ktory zaczyna sie we wspolrzednych (\(\displaystyle{ x _{2}}\) , \(\displaystyle{ y_{2}}\)), jest skierowany pod znanym katem \(\displaystyle{ \alpha}\) do poprzedniego odcinka i jego dlugosc to tez "d".

Prosilbym o jakis wzor lub chociaz pomoc pod jakim haslem szukac rozwiazania tego problemu. Zaznaczam, ze interesuje mnie jedynie rozwiazanie za pomoca jakiegos wzoru matematycznego, a nie rysowanie cyrklem i linijka

Z gory dziekuje za pomoc

[anna_]

Poszukaj wzoru na kąt między dwiema prostymi.

1. Wzór funkcji przechodzącej przez dwa dane punkty.
2. Jak masz wzór to masz i tangens nachylenia prostej do osi OX.
3. Masz dany kąt między odcinkami, więc i masz tangens tego kąta.
4. Ze wzoru na kąt między prostymi wyznacz tangens nachylenia prostej przechodzącej przez szukany koniec odcinka.
5. Jak będziesz miał tangens znajdź równanie prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ x_2,y_2}\)
6. Mając równanie prostej i długość odcinka można policzyć współrzędne \(\displaystyle{ (x_3,y_3)}\)

[Majeskas]

\(\displaystyle{ A=(x_1, y_1)}\)

\(\displaystyle{ B=(x_2, y_2)}\)

Najprościej mówiąc mamy tu obrót odcinka AB o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), gdzie środkiem obrotu jest punkt B.

Istnieje gotowy wzór na obrót względem początku układu. Tyle, że punkt B nie musi być początkiem układu. Ale możemy zadziałać, żeby tak się stało.

Jeżeli przesuniemy odcinek AB o wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[-x_2, -y_2]}\), to punkt B'=(0,0).

\(\displaystyle{ A'=(x_1-x_2, y_1-y_2)}\)

Teraz skorzystamy z gotowego wzoru na obrót względem początku układu o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)

jeżeli punkt \(\displaystyle{ P=(x_0, y_0)}\) obrócimy względem początku układu o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i otrzymamy punkt P', to \(\displaystyle{ P'=(x_0cos \alpha-y_0sin \alpha, x_0sin \alpha+y_0cos\alpha)}\)

Zatem obracamy punkt \(\displaystyle{ A'=(x_1-x_2, y_1-y_2)}\) i otrzymujemy punkt A"

\(\displaystyle{ A''=((x_1-x_2)cos \alpha-(y_1-y_2)sin \alpha, (x_1-x_2)sin \alpha+(y_1-y_2)cos\alpha)}\)

Mamy punkt A po obrocie, teraz musimy jeszcze użyć translacji wektorem przeciwnym
\(\displaystyle{ \vec{-u}=[x_2, y_2]}\), żeby sytuacja wróciła do początku zadania.

\(\displaystyle{ T_{\vec{-u}}(A")=A'''



\(\displaystyle{ A'''=(((x_1-x_2)cos\alpha-(y_1-y_2)sin\alpha+x_2, (x_1-x_2)sin\alpha+(y_1-y_2)cos\alpha+y_2)}\)

No i mamy szukane współrzędne. Być może dałoby się do tego dojść również znajdując wzory prostych AB i A'''B i stosując wzór na kąt między prostymi, a dokładniej tangens kąta między prostymi (wzór bierze się z tangensa różnicy kątów, jakie proste tworzą z osią X, co ma konsekwencje dla ich współczynników kierunkowych). Ale mogłoby być bardzo ciężko zrobić to na takim przypadku ogólnym.}\)

[Vladq]

Dziekuje za szybka odpowiedz

Majeskas, swietnie to wytlumaczyles, bardzo dziekuje Ci za pomoc, ten wzor nadaje sie idealnie

nmn, dzieki rowniez za odpowiedz i alternatywne rozwiazanie, ale akurat Twoj sposob byl dla mnie troszke trudniejszy