Sprawdzenie poprawności zadania - pole figury

[lolks123]

Witam! Aktualnie przerabiam zadania z książki ,,Zadania z matematyki dla olimpijczyków gimnazjalistów i licealistów", przed chwilą trafiłem na zadanie 6 na stronie 9 (zestaw III) i wg. mnie mój wynik wyszedł mi dobry, niestety w odpowiedziach jest inny Oto treść:

Wykresy funkcji \(\displaystyle{ y = -|x| + 2}\) i \(\displaystyle{ y = |x| - 2}\) wycinają z kwadratu ABCD figurę F. Oblicz jej pole, jeśli wiadomo, że:

\(\displaystyle{ A = (3, 3), B = (3, -3), C = (-3, -3), D=(-3, 3)}\)

Mi wyszło, że figurą tą jest kwadrat, w którym można zauważyć, że przekątna \(\displaystyle{ d=4[j]}\) tak więc \(\displaystyle{ a=2\sqrt{2}}\), tak więc pole wynosi \(\displaystyle{ P=8[j^2]}\), niestety w odpowiedziach jest 10 :/ Moglibyście zrobić to zadanie i powiedzieć, czy może w odpowiedziach jest błąd?

Pozdrawiam.

[pelas_91]

Zauważ, że te wykresy wycinają jeden kwadrat i dwa trójkąty. Poprawnie obliczyłeś pole kwadratu, ale to jeszcze nie kończy zadania.

PS. Odpowiedź w książce jest poprawna.

[lolks123]

A no tak, ale przecież te wykresy wycinają 4 trójkąty a nie 2 ? Więc teraz powinno chyba wyjść 12[j^2] ?

[pelas_91]

Narysowałem sobie ten wykres komputerowo i tam był jeden kwadrat i dwa trójkąty prostokątne równoramienne i wszystko razem dawało pole 10 \(\displaystyle{ j^2}\). Jedyne co mogę dla Ciebie jeszcze zrobić to sprawdzić poprawność Twojego rysunku, oczywiście jeśli go pokażesz.

[lolks123]

Wg. mnie rysunek wygląda tak:

AU

155rm8l.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 84 razy

btw. mógłbyś podać nazwę tego programu ? Bardzo mi się przyda

Pozdrawiam.

PS. sorry za taki rozszerzony obrazek ale są limity co do wielkości :/

[pelas_91]

Za dużo prostych masz na rysunku, co pewnie bierze się z tego, że nikt nie wytłumaczył ci dobrze wartości bezwzględnej.

Twój sposób rysowania doprowadził Cię do błędów.
Tabelki w górnym wierszu działają tylko dla \(\displaystyle{ x<0}\). Te na dole dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\). Co za tym idzie, spójrz na poprawiony rysunek.

Tak naprawdę tych czarnych kresek nie ma.

Jest prostszy sposób rysowania wykresów funkcji. Narysuj sobie funkcję \(\displaystyle{ y=|x|}\).
Ona jest punktem wyjścia do rysowania innych funkcji.
1)\(\displaystyle{ y=-|x|}\) to funkcja odbita symetrycznie względem osi OX
2)\(\displaystyle{ y=|x|+2}\) to funkcja przesunięta o dwie jednostki do góry
3)\(\displaystyle{ y=|x|-2}\) to ----- | | ---- w dół
4)\(\displaystyle{ y=|x+2|}\) to funkcja przesunięta o dwie jednostki w lewo
5)\(\displaystyle{ y=|x-2|}\) to funkcja przesunięta o dwie jednostki w prawo

I tak np. aby dostać wykres funkcji: \(\displaystyle{ y=-|x|-2}\). Wystarczy funkcję \(\displaystyle{ y=|x|}\) odbić symetrycznie względem osi OX, a następnie otrzymany wykres przesunąć o dwie jednostki w dół.

Na koniec małe sprostowanie. W przykładzie 1) ten minus stawia się przed całym wzorem funkcji. Np. obrazem funkcji \(\displaystyle{ y=|x|+2}\) w symetrii względem osi OX jest funkcja \(\displaystyle{ y=-(|x|+2)}\) czyli \(\displaystyle{ y=-|x|-2}\).
Ważny wniosek: W akapicie zaczynającym się od "I tak np." ta kolejność przekształceń ma znaczenie. Zobacz co się stanie jeśli wykonamy przekształcenia w odwrotnej kolejności: najpierw otrzymamy funkcję \(\displaystyle{ y=|x|-2}\) a następnie \(\displaystyle{ y=-(|x|-2)}\) czyli \(\displaystyle{ y=-|x|+2}\)-- 11 maja 2010, 08:01 --PS. Wykresy funkcji rysuję sobie za pomocą strony internetowej:

[lolks123]

Wielkie dzięki za takie dokładne wytłumaczenie

Pozdrawiam.