Witajcie, miło by było jakbyście zrobili choć część z tych zadań.Każde z nich potrafię zacząć, ale później zaczynają się schody i jakoś nie moge sobie z tym poradzić Z góry dzięki.
1.Dane są wierzchołki trójkąta A = (5,1) B = (-3,4) C = (4,0). Znajdź równanie prostej zawierającej wysokość CD. Oblicz długość tej wysokości oraz pole trójkąta. Znajdź równanie symetralnej boku BC.
2. Znajdź równanie stycznej do okręgu o środku S = (5,-4) w punkcie A= (3,2) oraz zapisz równanie tego okręgu.
3. Znajdź równanie okręgu o środku S = (4,-3), jeżeli prosta y=3x-5 jest styczna do tego okręgu.
4. Dane są okręgi: x²+ y² - 8x +12y - 12 = 0 i x² + y² +10x-6y-2=0. Oblicz długość wspólnej cięciwy tych okręgów oraz odległość między środkami okręgów. - W tym zadaniu nie wiem zupełnie jak obliczyć cięciwę.
5. Znajdź punkt wspólny okręgu S=(5,-3) r = 5 i prostej x+4y-1=0
Spróbujecie zrobić?
Spróbujecie zrobić?
Ciężko znaleźć bardzo podobne zadania, poza tym ja chce je zrozumieć a nie tylko mieć rozwiązania. Więc jeśli mogę to bardzo bym prosił jeszcze raz o zrobienie tych zadań, przynajmniej jednego. Chyba dla osoby która to umie nie jest żadnym problemem. Czyż nie?
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Spróbujecie zrobić?
4.
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 8x +12y - 12 = 0, \quad x^2 + y^2+10x-6y-2=0}\)
Zamieniamy pierwsze równanie na "przyzwoitą postać":
\(\displaystyle{ x^2 - 8x + 16 - 16 + y^2 + 12y + 36 - 36 - 12 =0\\ (x-4)^2 -16 + (y+6)^2 -36 -12=0\\ (x-4)^2 + (y+6)^2 =64}\)
To samo z drugim:
\(\displaystyle{ x^2 + 10x + 25 - 25 + y^2 - 6y + 9 - 9 - 2=0 \\ (x+5)^2 -25 + (y-3)^2 -9 - 2 =0 \\(x+5)^2 + (y-3)^2 =36}\)
Z tego widzimy, gdzie znajdują się środki tych okręgów. Analitycznie liczymy długość odcinka \(\displaystyle{ O_1 O_2}\).
Żeby znaleźć wspólną cięciwę, należy znaleźć punkty wspólne tego okręgu, najlepiej poprzez:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 - 8x +12y - 12 = 0 \\ x^2 + y^2+10x-6y-2=0 \end{cases}}\)
Przyrównujemy te dwa równania i znajdujemy związek między \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ y}\). Wstawiamy to do dowolnego równania i otrzymujemy dwa punkty. Liczymy odległość.
5.
\(\displaystyle{ [S = (5,-3), \ r=5] \Rightarrow (x-5)^2 + (y+3)^2 = 5^2\\ x+4y-1=0 \Rightarrow x=1-4y}\)
Jeżeli mamy znaleźć punkt(y?) wspólny, to możemy na podstawie tego zbudować układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-5)^2 + (y+3)^2 = 25 \\ x=1-4y \end{cases}}\)
Pozostaje rozwiązać:
\(\displaystyle{ \left((1-4y)-5\right)^2 + (y+3)^2 = 5^2}\)
Schemat dla zadań okrąg-prosta jest banalny. W końcowym równaniu liczba punktów wspólnych zależy od delty:
\(\displaystyle{ \Delta < 0}\) - prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\) - prosta jest styczną tego okręgu
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\) - prosta przecina okrąg w dwóch miejscach
Rozwiązaniem są oczywiście rzędne/odcięte punktów wspólnych (w zależności, która zmienna stoi w końcowym trójmianie).
Jeszcze jakieś zrobić czy metoda postępowania jest już jasna?
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 8x +12y - 12 = 0, \quad x^2 + y^2+10x-6y-2=0}\)
Zamieniamy pierwsze równanie na "przyzwoitą postać":
\(\displaystyle{ x^2 - 8x + 16 - 16 + y^2 + 12y + 36 - 36 - 12 =0\\ (x-4)^2 -16 + (y+6)^2 -36 -12=0\\ (x-4)^2 + (y+6)^2 =64}\)
To samo z drugim:
\(\displaystyle{ x^2 + 10x + 25 - 25 + y^2 - 6y + 9 - 9 - 2=0 \\ (x+5)^2 -25 + (y-3)^2 -9 - 2 =0 \\(x+5)^2 + (y-3)^2 =36}\)
Z tego widzimy, gdzie znajdują się środki tych okręgów. Analitycznie liczymy długość odcinka \(\displaystyle{ O_1 O_2}\).
Żeby znaleźć wspólną cięciwę, należy znaleźć punkty wspólne tego okręgu, najlepiej poprzez:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 - 8x +12y - 12 = 0 \\ x^2 + y^2+10x-6y-2=0 \end{cases}}\)
Przyrównujemy te dwa równania i znajdujemy związek między \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ y}\). Wstawiamy to do dowolnego równania i otrzymujemy dwa punkty. Liczymy odległość.
5.
\(\displaystyle{ [S = (5,-3), \ r=5] \Rightarrow (x-5)^2 + (y+3)^2 = 5^2\\ x+4y-1=0 \Rightarrow x=1-4y}\)
Jeżeli mamy znaleźć punkt(y?) wspólny, to możemy na podstawie tego zbudować układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-5)^2 + (y+3)^2 = 25 \\ x=1-4y \end{cases}}\)
Pozostaje rozwiązać:
\(\displaystyle{ \left((1-4y)-5\right)^2 + (y+3)^2 = 5^2}\)
Schemat dla zadań okrąg-prosta jest banalny. W końcowym równaniu liczba punktów wspólnych zależy od delty:
\(\displaystyle{ \Delta < 0}\) - prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\) - prosta jest styczną tego okręgu
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\) - prosta przecina okrąg w dwóch miejscach
Rozwiązaniem są oczywiście rzędne/odcięte punktów wspólnych (w zależności, która zmienna stoi w końcowym trójmianie).
Jeszcze jakieś zrobić czy metoda postępowania jest już jasna?